广东省东莞市松山湖莞美学校2014-2015学年高二下学期第一次月考数学（理）试卷

命题教师：唐东元

本卷满分150分，考试时间为120分钟。

1. 选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1. 在曲线上取点及邻近点，那么为 ( )
   A．　 　B．C．D．
2. 函数y=x²cosx的导数为 ( )
   1. y′=2xcosx－x²sinxB.y′=2xcosx+x²sinx

C.y′=x²cosx－2xsinxD.y′=xcosx－x²sinx

3.已知曲线上一点A(1,2)，则A处的切线斜率为 ( )

A．16 B．8 C．4 D． 2

4、已知，则等于（ ）

A B) —1 C 2 D 1

5.函数是减函数的区间为 ( )

A．B．C．D．（0，2）

6、设为曲线:上的点且曲线C在点处的切线的倾斜角的取值范围为，则点的横坐标的取值范围( )

ABCD

7、若为的各位数字之和，如则,记则（ ）

A 3 B 5 C 8 D 11

8.曲线，和直线围成的图形面积是 （　 　）

A.B.C.D.

9.设是函数的导函数,图象如下左图,则图象最有可能是（ ）

10.设函数在[a,b]上连续,在(a,b)上可导且,则当时,有( )

A.B.

C.D.

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二．填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分25分．）

11.已知函数，则曲线在点处的切线方程_________ ．

12. 计算： 　　 ．

13. 一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t的速度为v(t)=-t²+4,（）（t的单位：h, v的单位：km/h）则这辆车行驶的路程是 km.

14、直线与曲线围成图形的面积为，则的值为 。

15、将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”.已知直角三角形具有性质：“斜边的中线长等于斜边边长的一半”.仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质： 。

三．解答题：本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数

（1）求函数的单调区间；

（2）求函数在区间上的最值.

17．（本小题满分12分）

已知f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）在x=±1时取得极值，且f（1）=－1．

1. 求函数的解析式，并判断和是函数的极大值还是极小值；
   （2）过点作曲线的切线，求此切线方程.
   18.（本小题满分12分）(1)设试求.
2. 求函数围成封闭图形的面积.

19.（本小题满分12分）一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比, k为比例常数．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其它与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和为最小？

20．（本题满分13分）

,函数

（Ⅰ）若在区间上是增函数，求的取值范围;

（Ⅱ）求在区间上最大值。

1. 选择题

   题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
   答案	C	A	C	D	D	A	B	D	C	C

2. 填空题

1. 3x+y-4=012、13、

1. 215、在直角三棱锥中，斜面的“中面”的面积等于斜面面积的

1. 解答题

16．（本小题满分12分）

已知函数

（1）求函数的单调区间；

（2）求函数在区间上的最值.

解：（1）因为，所以，

令=0得x=-3和1

当变化时，与的变化如下：

		-3
	+	0	-	0	+
	↗	极大	↘	极小	↗

由上表可知，在和上单调递增，在上单调递减

因为f（-4）=31，f（-3）=38，f（1)=6,f(3)=38,

所以最大值为38，最小值为6.

17．（本小题满分12分）

已知f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）在x=±1时取得极值，且f（1）=－1．

1. 求函数的解析式，并判断和是函数的极大值还是极小值；
   （2）过点作曲线的切线，求此切线方程.
   解：f′（x）=3ax²+2bx+c,∵x=±1是函数的极值点,
   ∴x=±1是方程3ax²+2bx+c=0的两根.
   由根与系数的关系知
   
   又f（1）=－1,∴a+b+c=－1．③
   由①②③解得a=,b=0,c=－.
   解法二:由f′（1）=f′（－1）=0,
   得3a+2b+c=0，①
   3a－2b+c=0．②
   又f（1）=－1,∴a+b+c=－1．③
   由①②③解得a=，b=0,c=－.
   f（x）=x³－x,∴f′（x）=x²－=（x－1）（x+1）.
   当x＜－1或x＞1时，f′（x）＞0;当－1＜x＜1时，f′（x）＜0.
   ∴x=－1时，f（x）有极大值；x=1时,f（x）有极小值.
   （Ⅱ）解：曲线方程为，点在曲线上.
   所以A为切点为，
   因，故切线的方程为24x-y-63=0
   18.（本小题满分12分）(1)设试求.
2. 求函数围成封闭图形的面积.

19.（本小题满分12分）一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比, k为比例常数．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其它与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和为最小？

20．（本题满分13分）

,函数

（Ⅰ）若在区间上是增函数，求的取值范围;

（Ⅱ）求在区间上最大值。

解：(Ⅰ) 由∴----------------2分

要使在区间上是增函数， 当且仅当在上恒成立，即在上恒成立，

即--------------------------------------------------------------------------4分

在上单调递减。在上的最小值是

的取值范围是----------------------------------------------------------------6分

（Ⅱ）由(Ⅰ) 知，当时，在区间上是增函数，

此时，在区间上的最大值是-------------------8分

当时，令；解得，

时，，；

在上单调递增，在上单调递减；---------11分

此时，在上最大值是。----------------12分

综上所述：当时，在区间上的最大值是；

当时，在区间上的最大值是。------13分

1. （本题满分14分）设函数f(x)＝ae^xlnx＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2. (1)求a，b； (2)证明：f(x)>1.

解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝ae^xlnx＋e^x－e^x－1＋e^x－1.

由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e，故a＝1，b＝2. 。。。。。。。。。。。。。。。 5分

(2)证明：由(1)知，f(x)＝e^xlnx＋e^x－1，

从而f(x)>1等价于xlnx>xe^－x－.

设函数g(x)＝xlnx，

则g′(x)＝1＋lnx，

所以当x∈时，g′(x)<0；

当x∈时，g′(x)>0.

故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g＝－. 。。。。。。。。。。。。。。。10分

设函数h(x)＝xe^－x－，则h′(x)＝e^－x(1－x)．

所以当x∈(0，1)时，h′(x)>0；

当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0.

故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－.

因为g_min(x)＝g＝h(1)＝h_max(x)，

所以当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1. 。。。。。。。。。。。。。。。14分