广东省中山市杨仙逸中学2014-2015学年高二上学期第一次段考数学试题

顺德李兆基中学2016届高三上学期第四次月考

理数试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.

1．如图所示的韦恩图中，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合，若则

A．B．C．D．

2.设为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于

第一象限第二象限第三象限第四象限

3．化简

1. B.C.D.
   4.若条件，条件，则是的
   A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
   C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件
   5.二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为
   1. B.C.或D.或

6．已知等差数列的公差若则该数列的前项和的最大值为

A．B．C．D．

7.对于函数，下列选项中正确的是

A.在上是递增的 B.的图像关于原点对称

C.的最小正周期为D.的最大值为2

8.如图，若时，则输出的数等于

A.B.

C.D.

9．设为三条不同的直线，为一个平面，下列命题中正确的个数是

①若，则与相交

②若则

③若||，||，，则

④若||，，，则||

A．1B．2C．3D．4

10.设是内一点，且，.定义，其中分别是的面积.若，则的最小值是

11．定义在R上的函数满足以下三个条件：

(1)对任意的,都有

(2) 对任意的且,都有

(3) 函数的图像关于轴对称.

则下列结论正确的是

A．B.

C.D.

12．已知函数有且仅有一个零点,若，则的取值范围是

A．B．C．D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.请将答案填在答题卡相应位置.

13.在数列中，；

14.已知,O为坐标原点，A,B,M三点共线，且 ,则点M的坐标为： ；

15．若满足约束条件，则的最大值为 ；

16．已知下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为________。

三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知分别为三个内角的对边，且满足．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若的面积为，求的取值范围．

18.（本题满分12分）

已知在四棱锥中，底面是矩形，

且，，平面，是线段的中点．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值.

19．（本小题满分12分）

已知首项都是的数列，满足.

（Ⅰ）令，求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列为各项均为正数的等比数列，且，求数列的前项和.

20． （本小题满分12分）

已知函数．

（Ⅰ）求在上的最大值；

（Ⅱ）若直线为曲线的切线，求实数的值.

21．（本小题满分12分）已知m为实数，函数．

（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若，求证：．

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个计分.

22、（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲.

如图，⊙的半径为 6，线段与⊙相交于点、，，，与⊙相交于点.

（1） 求长；

（2）当⊥时，求证：.

23.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为（为参数）.

（1）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；

（2）设曲线与直线相交于两点，以为一条边作曲线的内接矩形，求该矩形的面积.

顺德李兆基中学2016届高三上学期第四次月考

理科数学参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.

BCCBB CBDCD AB

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.请将答案填在答题卡相应位置.

13．6 14. 15. 3 16.

三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17.解：⑴由正弦定理得， …………1分

在中，， …………3分

，又， …………4分

， …………5分

又． …………6分

⑵， …………8分

由余弦定理得，………10分

当且仅当时，“＝”成立，

为所求． …………12分

18.解：解法一：（Ⅰ）∵平面，，，，建立如图所示的空间直角坐标系，则．…………2分

不妨令∵，∴，

即．…………………………4分

（Ⅲ）∵，∴是平面的法向量，易得，……9分

又∵平面，∴是与平面所成的角，

得，，平面的法向量为……10分

∴，

故所求二面角的余弦值为．………12分

解法二：（Ⅰ）证明：连接，则，，

又，∴，∴……2分

又，∴，又，

∴……4分

（Ⅱ）∵平面，∴是与平面所成的角，且．

∴………………………………………………………………9分

取的中点，则，平面，

在平面中，过作，连接，则，

则即为二面角的平面角………………………10分

∵∽，∴，∵，且

∴，，∴………12分

19.解：（Ⅰ）由题意可得，，

两边同除以，得，

又，，…………………………………………………………………3分

又，数列是首项为，公差为的等差数列.

，. …………………………………………5分

（Ⅱ）设数列的公比为，，，

整理得：，，又，，，………………………7分

…………… ………………………………………8分

…………①

…………② ……………9分

①—②得：

………………………………………………10分

…………………………………………………………12分

20.解：（1），…………………………1分

令，解得（负值舍去），由，解得．

（ⅰ）当时，由，得，

在上的最大值为．…………………………………3分

（ⅱ）当时，由，得，

在上的最大值为．……………………………………5分

（ⅲ）当时，在时，，在时，，

在上的最大值为．…………………………………7分

（2）设切点为，则……………………………8分

由，有，化简得，

即或， ……………………………①

由，有，……………②

由①、②解得或． ……………………………………………12分

21.解：（1），

∴. ……………………………………1分

① 当时，，则在上单调递减，……………………2分

② 当时，，则在上单调递减………3分

③当时，则时，；时，，

∴在上单调递减，在上单调递增. ……………………5分

综上所述，当时，在上单调递减;

当时，在上单调递减;,

当时，在上单调递减，在上单调递增.……………6分

（2）证明：当时，在上单调递减, ……………7分

∴时，, 即. …………………………8分

∵,∴. ……………………………9分

∴. ………………………………10分

∴. … ……………………………………11分

∵,

∴. ………………………………………12分

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个计分.

22.【解】（1）， …………1分

．∵，∴ ． …………3分

∴，∵，

∴，∴． ……………5分

（2）证明：∵，．∴

∴

∴……………………10分

23.【解】（1）对于：由，得，进而.………2分

对于：由（为参数），得，即.………4分

（2）由（1）可知为圆，圆心为，半径为2，弦心距，…6分. 弦长，……8分.

因此以为边的圆的内接矩形面积………10分