广西钦州市2015-2016学年高二下学期期末考试数学（文）试卷（B卷）

钦州市2016年春季学期教学质量监测

高二文科 数 学（B卷）

（全卷满分：150分，考试时间：120分钟）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个备选项中，有

且只有一项是符合题目要求的。（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试题上作答无效。）

1．复数的共轭复数是

．．．．

2．下列命题中，真命题是

．如果，那么．如果，那么　　　

．如果，，那么．如果，那么　　

3．已知数列中，，计算该数列的前几项，猜想它的通项公式是

．．．．

4．小明为了更好地把握回归分析的知识，他试图用流程图形象地表示建立回归模型的过程：

资*源%库

资*源%库

则最适合填写流程图中空白框的一项是

．预报．计算真实值．比较模型效果．残差异常分析

5．函数的定义域是

．．．．

6．某班生活委员为了解在春天本班同学感冒与性别是否相关，他收集了3月份本班同学的感冒数据，并制出下面一个2×2列联表：

由的观测值公式，可求得，根据给出表格信息和参考数据，下面判断正确的是

．在犯错概率不超过1%的前提下认为该班“感冒与性别有关”

．在犯错概率不超过1%的前提下不能认为该班“感冒与性别有关”

．有15%的把握认为该班“感冒与性别有关”

．在犯错概率不超过10%的前提下认为该班“感冒与性别有关”

7．极坐标方程表示的曲线是一条

．射线．直线．垂直于极轴的直线．圆

8．已知满足，则的最小值是

．．．．　　

9．在同一坐标系中，曲线经过伸缩变换后，得到的曲线的方程是

．．．．

10．圆心，半径为3的圆的参数方程是

．．　

资*源%库．．　

11．不等式恒成立，则参数的范围是

．．．．　

12．设是椭圆上的动点，则到直线的距离的最小值是

．　　　．．．　

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．过点且平行于极轴的直线的极坐标方程是▲。

14．如图，类比三角形中位线定理“如果是三角形的中位线，

则。”，则可推知在空间四面体（三棱锥）

中，“如果　▲　，则　▲　”。

15．某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入（单位：千元）的统计数据如下表，

年　份	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013
年份代号	1	2	3	4	5	6	7
	$来&源：2.9	3.3	3.6	4.4	4.8	5.2	5.9

据此，我们得到关于年份代号的线性回归方程：，则预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入等于　▲　。

16．函数的最大值是　▲　。

三、解答题：本大题共6题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）解不等式。　　

18．（本小题满分12分）已知直线的极坐标方程为。

（1）在极坐标系下写出和时该直线上的两点的极坐标，并画出该直线；

（2）已知是曲线上的任意一点，求点到直线的最短距离及此时的极坐标。

19．（本小题满分12分）

要制作一个容积为4，高为1的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，求该容器的最低总造价。　

20．（本小题满分12分）

已知数列的前项和为，，满足，

（1）求，，；

（2）根据（1）猜想的表达式，并用数学归纳法证明.

21．（本小题满分12分）已知方程：有解.

（1）求实数的取值范围；

（2）求的最小值.

22．（本小题满分12分）已知直线的参数方程为：，曲线的参数方程为：，顶点为.

（1）求直线的倾斜角和斜率；

（2）证明直线与曲线相交于两点；

（3）设（2）中的交点为，求三角形的面积。

钦州市2016年春季学期教学质量监测参考答案

高二文科 数 学（B卷）

一、选择题答案：（每小题5分，共60分）

二、填空题答案：（每小题5分，共20分）

13．；

14．　

15．；16．（提示：参考选修课本4－5中P35例2）．

三、解答题：本大题共6小题；共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．解：①当时，原不等式可化为，　 ……………………………2分

整理得，解得，　　　　　　　 …………………………………4分

②当时，原不等式可化为，………………………………6分

整理得，解得，　　　　　　……………………………………8分　　

综合①②可知，原不等式的解集为。…………………………10分

18．解：（1）直线经过，两点，……………3分

在极坐标系下，直线如图所示：………………………6分

（2）曲线化为直角坐标方程得，该曲线为单位圆，

将直线的极坐标方程化为直角坐标方程得………8分

要求圆上任意一点到直线的最短距离，只要求圆心到直线的距离即可。

由点到直线的距离公式得：，　………………………………10分

所以点到直线的最短距离为，

此时，点的极坐标为. …………………………………………………12分

19．解：设该长方体的底面长为米，宽为米，总造价为元， ………………………2分

依题意有，　　　　　　　　　　　　 ……………………………………… 4分

且　………………………………………6分

由均值不等式得：，　　……………………………………8分

当且仅当时取等号，　　　　　　　　……………………………………10分

所以该容器的最低总造价为160元。　　　　　……………………………………12分

20．（1）由，及可算得

，，，　　　　　……………………………4分

（2）由此猜想的表达式是　　　　　　　…………………………6分

下面用数学归纳法证明：

（1）由知，当时，等式成立；……………………………7分

（2）当时，假设时等式成立，即　　…………………8分

那么，当时，由得

，得，而，…………10分

∴，∴　　　

所以，当时，等式成立.

综合（1）、（2）可知，对任意的正整数，有成立 ……………12分

21．（1）设，由绝对值的性质可知：

，　　　　　…………………………………2分

∴函数的值域是，　　　 ……………………………………3分

要使方程有解，　　　 …………………………………5分

∴的取值范围是：　 ………………………………6分

(2)由，及均值不等式，

知　， ……………………………8分

当且仅当时取等号，此时，，………………………………10分

∴的最小值等于6.　　　　…………………………………………12分

22．解：（1）倾斜角为45°。…………4分

（2）将曲线的参数方程中的参数消去得

曲线的一般方程是：，　………………………………………………………5分

联立方程组　，消去得：　①……………………………6分

　∴方程①有两个不同的实数根，　

∴直线与曲线相交于两点。　　　……………………………………………………8分

（3）设，　，由（2）可得，　，　，由抛物线的图象知，直线经过抛物线的焦点　，……………………………10分

∴　　

∵的面积为　　　　　　　…………………………………………………12分