新疆哈密地区第二中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学（理）试卷

2015-2016学年第二学期高二（17届）理科数学期中考试卷

考试时间：120分钟；命题人：岳刚军

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息.

2．请将答案正确填写在答题卡上.

第I卷（选择题）

1．复数，则（ ）

1. B.C.D.

2．一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（ ）

A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒

3．由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为（ ）

A．B． C．4 D．6

4．二维形式的柯西不等式可用（ ）表示．

A.a²+b²≥2ab（a，b∈R）

B.（a²+b²）（c²+d²）≥（ab+cd）²（a，b，c，d∈R）

C.（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²（a，b，c，d∈R）

D.（a²+b²）（c²+d²）≤（ac+bd）²（a，b，c，d∈R）

5．不等式|4－3x|－5≤0的解集是（ ）

（A）{x| －或x≥3}

（C）{x|≤x≤－3} （D）{x| －≤x≤3}

6．设曲线在点处的切线与直线垂直，则＝ （ ）

A．B．C．D．

7．不等式的解集为（ ）

A．B．C．D．

8．若实数a，b，c满足|a－c|＜|b|，则下列不等式中成立的是(　　)

A．|a|＞|b|－|c| B．|a|＜|b|＋|c| C．a＞c－bD．a＜b＋c

9．已知a，b∈R，a²+b²=4，求3a+2b的取值范围为（ ）

A.3a+2b≤4 B.3a+2b≤ C.3a+2b≥4 D.不确定

10．若关于的不等式有实数解，则实数的取值范围为（ ）

A．B．C．D．

11．已知函数，设两曲线有公共点，且在该点处的切线相同，则时，实数的最大值是（ ）

A．B．C．D．

12．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄，内切球半径为r，四面体S﹣ABC的体积为V，则r=（ ）

A．

B．

C．

D．

第II卷（非选择题）

13．计算：=.

14．已知z=（a﹣i）（1+i）（a∈R，i为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点在实轴上，则a= ．

15．设函数在内可导，且，且______．

16．设复数（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是_____________．

17．（10分）已知函数．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求函数图象上的点处的切线方程．

18．（12分）已知，，.求证中至少有一个不少于0.

19．（12分）已知且，若恒成立，

（1）求的最小值；

（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.

20．（12分）已知函数的图象如图，直线在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域（阴影）面积为.

（1）求的解析式；

（2）若常数，求函数在区间上的最大值.

21．（12分）设数列的前项和为，且满足，，.（1）猜想的通项公式，并加以证明；

（2）设，且，证明：.

22．（12分）已知函数．

（1）若为的极值点，求实数的值；

（2）若在上为增函数，求实数的取值范围；

（3）当时，方程有实根，求实数的最大值．

参考答案

1．C2．C3．B4．C5．D6．A7．D8．B9．B10．B11．D12．C

解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为∴R=

故选C．考点：类比推理．

资*源%库 13．5 14．1 15．16．1

17． 试题解析：（Ⅰ）；

（Ⅱ）由题意可知切点的横坐标为1，

所以切线的斜率是，

所以切线方程为，即．

18． 试题分析：证明：假设中没有一个不少于0，即，

所以

这与假设所得结论矛盾，故假设不成立

所以中至少有一个不少于0

19． 试题解析：（1），

，（当且仅当，即时取等号）

又∵恒成立，∴.

故的最小值为3. 4分

（2）要使恒成立，须且只须.

∴或或

资*源%库 ∴或. 7分

20．试题解析：（1）由得， 2分

.由得， 4分

∴，则易知图中所围成的区域（阴影）面积为从而得，∴. 8分

（2）由（1）知.的取值变化情况如下：

				2
	单调 递增	极大值	单调 递减	极小值	单调 递增

又,①当时,；

②当时,11分

综上可知：当时,；

当时,12分

21． 解：（1）分别令，得，猜想得（2分）

法一：数学归纳法按步给分

法二：由，得，两式作差得，

即（4分）

∵∴，即

∴是首项为1，公差为1的等差数列，∴（6分）

（2）要证，

只要证

代入，即证即证（10分）

∵，且∴即得证（12分）

22． 试题解析：（1）．

因为为的极值点，所以．即，解得．

又当时，，从而为的极值点成立．

（2）因为在区间上为增函数，

所以在区间上恒成立．

1. 当时，在上恒成立，所以在上为增函数，故符合题意．

②当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能，所以在上恒成立．

令，其对称轴为，

因为所以，从而在上恒成立，只要即可，

因为，解得．因为，所以．综上所述，的取值范围为．

（3）若时，方程可化为．

问题转化为在上有解，

即求函数的值域．因为，令，则，所以当时，从而在上为增函数，当时，从而在上为减函数，

因此．而，故，因此当时，取得最大值0．