江西省丰城中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学（理）试卷

丰城中学2015-2016学年上学期高二期中考试数学试卷

考试范围：必修2，选修2-1第一章 考试时间：2015年11月12日

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（ ）

A．B．C．D．

2．下列命题中的真命题是(　　)

A．使得； B．；

C．∀；D．∀；

3．如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为棱A₁B₁，BB₁的中点，

则D₁E与CF的延长线交于一点，此点在直线(　　)．

A．AD上　　　 B．B₁C₁上 C．A₁D₁上 D．BC上

4. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（ ）

A B C D

5. 若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）

A．B.C.D.

6. 已知命题使得命题,下列命题为真命题的是（ ）

A．(B．C．pqD．

7. 直线与圆有两个不相同交点的一个必要而不充分条件是（ ）

A．B.C.D.

8．下列四个正方体图形中，，为正方体的两个顶点，，，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是 （ ）

① ② ③ ④

A．①、② B．①、③ C．①、 ③、④ D．②、③

9. 已知直线与圆交于、两点，且向量、满足，其中为坐标原点，则实数的值为（ ）

A．B.C.D.

10.如图，在正三棱柱中，，分别是和的中点，则直线与所成角的余弦值等于（ ）。

A、      B、     C、   D、

11．若直线与圆相交于P、Q两点，且点P、Q关于直线对称，则不等式组表示的平面区域的面积为（ ）.

A．B. C.1 D.

12. 如图在正三棱锥A-BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE,

且BC=1，则正三棱锥A-BCD的体积是( )

二．填空题（每小题5分，共20分）

13．命题“若实数a满足，则”的否命题是 命题. （填“真”、“假”之一）．

14. 已知圆与圆，

若变化时，圆始终平分圆的周长，则圆的面积最小值时的方 程为__________；

15. 某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为_______；

16. 若，对于，都有成立，则m的最大值是_______

三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.(本小题满分10分) 已知两直线，

分别求满足下列条件的值

（1），且直线过点（-3，-1）；

（2），且直线在两坐标轴上的截距相等；

18.（本小题满分12分）已知P：，q: 集合

=，若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，，求实数的取值范围；

19.（本小题满分12分）已知圆M：，Q是轴上动点，QA、QB分别切圆M于A、B两点，

（1）若，求直线MQ的方程；

（2）求四边形面积的最小值；

20．（本小题满分12分）已知，A＝[－1，1]，设关于的方程的两根为.试问：是否存在实数，使得不等式对任意及[－1，1]恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由

21. （本小题满分12分）已知三棱柱ABC－A′B′C′中，平面BCC′B′⊥底面ABC，BB′⊥AC，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA′＝3，E、F分别在棱AA′，CC′上，且AE＝C′F＝2.

1. 求证：BB′⊥底面ABC；
   (2)在棱A′B′上是否存在一点M，使得C′M∥平面BEF，
   若存在，求值，若不存在，说明理由；
   （3）求棱锥-BEF的体积
   22.（本小题满分12分）设函数
   （1）若不存在，使得与同时成立，求实数的取值范围；
   （2） 设，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
   

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   丰城中学2015-2016学年上学期高二期中考试
   数学参考答案
   一、选择题：

   题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
   答案	D	C	B	D	C	C	C	B	A	A	A	B

   
   二、填空题：
   13． 真 ；14. ； 15. ； 16. 8 ；
   三、解答题
   17．解：（1），即
   又，解得，………………………5分
   （2），即
   由令得，令得，
   即，解得，………………………10分
   18．解：易知：命题；………………2分
   命题由得：在有解
   即：，得，即；……………5分
   由“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，知：命题p与命题q一真一假
   （i）当p真q假时，即得：……………8分
   （ii）当q真p假时，即得：……………11分
   综述：或……………12分
   19．解：(1) 圆M：即，圆心
   由得：
   由得
   设，则，即
   所以直线MQ的方程为或………6分
   （2）易知，当取得最短时，四边形面积的最小值，即Q与O重合
   此时，
   即四边形面积的最小值为………12分
   20、解：由得x²－ax－2＝0. 这时＝a²＋8>0.
   由于x₁,x₂是方程x²－ax－2＝0的两实根，所以
   从而
   因为－1≤a≤1，所以.……………………………4分
   不等式m²＋tm＋1≥对任意及[－1，1]恒成立.
   当且仅当m²＋tm＋1≥3对任意[－1，1]恒成立.
   即m²＋tm－2≥0对任意[－1，1]恒成立.……………………………………7分
   设g(t)＝m²＋tm－2＝tm＋m²－2，（*）
   g(t)≥0对任意[－1，1]恒成立，故………………10分
   即 解得m≥2或m≤－2. ……………………12分
   21. (1)证明　取BC中点O，连接AO，因为三角形ABC是等边三角形，
   所以AO⊥BC，
   又因为平面BCC′B′⊥底面ABC，AO⊂平面ABC，平面BCC′B′∩平面ABC＝BC，所以AO⊥平面BCC′B′，又BB′⊂平面BCC′B，所以AO⊥BB′.又BB′⊥AC，AO∩AC＝A，AO⊂平面ABC，AC⊂平面ABC.
   所以BB′⊥底面ABC. …………………4分
2. 显然M不是A′，B′，棱A′B′上若存在一点M，

使得C′M∥平面BEF，

过M作MN∥AA′交BE于N，连接FN，MC′，所以MN∥CF，即C′M和FN共面，

所以C′M∥FN，

所以四边形C′MNF为平行四边形， 所以MN＝2，

所以MN是梯形A′B′BE的中位线，M为A′B′的中点．即……………8分

（3）……………12分

22．解：（1）由即，也就是说当时，都有恒成立

只需求在上的最小值

的对称轴方程为

（i）当时，则，

即， 所以

（ii）当时，则，即得

所以

综述：……………6分

（2）

由题意知，只需和

（i）当时，在R上为增函数，即在上为增函数，

即或

即

（ii） 当时，在上为增函数，在为减函数，在为增函数即在上为增函数，

即

即

综述：实数的取值范围是：或……………12分