河南省信阳市2016-2017学年高二下学期期中考试数学（理）试卷

2016—2017学年度下期高中二年级期中检测

数学试题（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将考号填涂在相应位置。

2.答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上的答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上。

3. 非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水笔书写在答题卷上，字体工整字迹清楚，不得超出答题栏边界。

4. 考试结束后，监考员请将答题卷收回。

第Ⅰ卷 选择题

一、选择题.（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.数列1,3,6,10，x,21，…中的x等于

A．17B．16C．15D．14

2．关于复数的四个命题：

：复数对应的点在第二象限，：，

：的共轭复数为，：z的虚部为．

其中的真命题个数为

A．4B．3C．2D．1

3．函数的导函数是

A．B．

C．D．

4．若，则

A．B．-6C．D．-12

5．已知曲线在处的切线的斜率为，则实数的值为

1. B. -C.D.

6.已知上的可导函数的图象如图所示，则的解集为

A．

B．

C．

D．

7．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班; 乙说：我在8日和9日都有值班； 丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是

A．2日和5日 B．5日和6 C．6日和11日 D．2日和11日

8.若由曲线y＝x²＋k²与直线y＝2kx及y轴所围成的平面图形的面积S＝9，则k＝

A.3 B．－3或3 C.3 D．－3

9．如图所示，面积为S的平面凸四边形的第条边的边长记为，此四边形内任一点到第条边的距离记为，若，则．类比以上性质，体积为V的三棱锥的第个面的面积记为，此三棱锥内任一点到第个面的距离记为，若，则

A．B．

C．D．

10．若点在函数的图像上，点在函数的图像上，则的最小值为

A． B．8 C．D．2

11．下列命题中

①若，则函数在取得极值；

②直线与函数的图象不相切；

③若（为复数集），且，则的最小值是3；

④定 积分.正确的有

A.①④ B.③④ C.②④ D.②③④

12.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集

A.B.

C.D.

第II卷 非选择题

二.填空题(每小题5分共20分)

13.已知为实数，复数为纯虚数，则

14.若曲线与曲线在交点处有公切线， 则

15.关于x的方程x³－3x²－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________．

16.记，当时，观察下列等式：

，

，

，可以推测A-B等于

三．解答题

17．（本题满分10分）设复数z＝－3cosθ＋2isinθ.

(1)当θ＝时，求|z|的值；

(2)若复数z所对应的点在直线x＋3y＝0上，求的值．

18. （本题满分12分）

(1) 已知函数求1

(2)求曲线与轴以及直线所围图形的面积.

19．（本题满分12分）设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为．

（1）求的值；

（2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值．

20.是否存在常数，使等式对于一切都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明？（本题满分12分）

21．(本小题满分12分)已知函数。

如果，函数在区间上存在极值，求实数a的取值范围；

当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围。

22．(本小题满分12分)已知函数．

（1）当时，求在最小值；

（2）若存在单调递减区间，求的取值范围；

（3）求证：（）．

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一、选择题： (本大题共12题，每小题5分，共60分)

13.114115(-4,0)16

17．解：(1)∵θ＝，

∴z＝－3cos＋2isin＝－i，

∴|z|＝＝（5分）

(2)由条件得，－3cosθ＋6sinθ＝0，∵cosθ≠0，∴tanθ＝，

原式＝＝＝（10分）

18.(1)∵，则（6分）

(2)由题可知，画出所围图形如图，

则阴影部分面积为；（12分）

19 ．(1)因为为奇函数，

所以即，所以，……2分

因为的最小值为，所以， ……………… 4分

又直线的斜率为，

因此，，∴．…………………… 6分

(2)单调递增区间是和． ……………………………… 9分

又f(-1)=10,f()=-8,f(3)=18

在上的最大值是，最小值是．…………………… 12分

20.若存在常数使等式成立，则将代入上式，有得，即对于一切成立. （5分）

数学归纳法证明如下：

证明如下：（1）当时，左边=，右边=，所以等式成立（6分）

（2）假设（且）时等式成立，即

，

当时，

也就是说，当时，等式成立，

综上所述，可知等式对任何都成立. ……………………（12分）

21.试题分析：（1）因为， x >0，则， （1分）

当时，；当时，.

所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减，

所以函数在处取得极大值.

因为函数在区间（其中）上存在极值，

所以解得.…………………………………………（6分）

（2）不等式即为记

所以

令，则，，

在上单调递增，，

从而,故在上也单调递增，所以，

所以 . （12分）

22：（1），定义域为．

，

在上是增函数．.………………（3分）

（2）因为

因为若存在单调递减区间，所以有正数解.

即有的解

①当时，明显成立 .

②当时，开口向下的抛物线，总有的解；

③当时，开口向上的抛物线，

即方程有正根.因为，所以方程有两正根. 当时，；

，解得

综合①②③知：． ………………………………………………………… （7分）

（3）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当时，，即．

令，则有，．

，． …………… （12分）

(法二)①当时，．

，，即时命题成立．

②假设当时，命题成立，即．

时，

．

根据（Ⅰ）的结论，当时，，即．

令，则有，

则有，即时命题也成立．（12分）

由①②可知：ln(n+1)＞