河南省信阳市商城高级中学2017-2018学年高二上学期第一次月考数学试卷

河南省商城高级中学2017—2018学年上期高二第一次月考数学试题

命题：胡泽涛 审核：余本凤

一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中有且只有一个是符合要求的）

1.在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，若，则（ ）

A．B．C．D．

2.等差数列的首项为1，公差不为0．若a₂，a₃，a₆成等比数列，则前6项的和为（ ）

A．B．C．3D．8

3.函数的最大值为（ ）

A．B．1C．D．

4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）

A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏

5. 在数列中，，则的值为

A．49B．50C．51D．52

6．在中，分别为内角的对边，已知，则 （ ）

1. B.C.D.
   7．对于，有如下四个命题:
   ①若，则为等腰三角形，
   ②若，则是直角三角形
   ③若，则是钝角三角形
   ④若，则是等边三角形.其中正确的命题个数是 （ ）
   1. B.C.D.

8.已知曲线C₁：y=cosx，C₂：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是

A．把C₁上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C₂

B．把C₁上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C₂

C．把C₁上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C₂

D．把C₁上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C₂

9．在中，，，分别是，，的对边，已知，，成等比数列，且，则的值为( )

A.B.C.D.

10．等比数列满足，且，则当时， （ ）

A.B.C.D.

11．在数列中，，，则（ ）

A．B．C．D．

12．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于(　　)

A．240(－1)mB．180(－1)m

C．120(－1)m D．30(＋1)m

二、填空题：（本大题共4小题,每小题5分,共20分,请将答案填写在答题卷上）

13.我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积，．

14.在中，，，.若，，且，则的值为___________.

15．如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：…，则第行第3个数字是 ．

16.设等比数列满足a₁+a₃=10,a₂+a₄=5,则a₁a₂…a_n的最大值为 ．

1. 解答题：（本大题共6小题,共70分，请将必要的文字说明,证明过程或演算步骤写在答题卷上，否则解答无效）

17. (本小题满分10分)已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，

1. 若，求的通项公式；
   (2)若，求.
   18. (本小题满分12分)△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若=（2b﹣c，cosC），=（a，cosA），且∥．
   （1）求角A的值；
   （2）若a=，b+c=4，求S_△ABC的值．
   19. ( 本小题满分12分)已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点(n，S_n)在函数f(x)＝2^x－1的图象上，数列{b_n}满足b_n＝log₂a_n－12(n∈N^*)．
   1. 求数列{a_n}的通项公式；
   2. 设数列{b_n}的前n项和为T_n，当T_n最小时，求n的值；
   3. 求不等式T_n<b_n的解集．
      20．( 本小题满分12分)设数列满足.
      （1）求的通项公式；
      （2）求数列的前项和.
      21．( 本小题满分12分)如图所示，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1260 m，经测量，cos A＝，cosC＝.
      (1)求索道AB的长；
2. 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
3. 为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在什么范围内？

22．( 本小题满分12分)设a₁＝2，a₂＝4，数列{b_n}满足：b_n＝a_n＋1－a_n，b_n＋1＝2b_n＋2.

1. 求证：数列{b_n＋2}是等比数列(要指出首项与公比)；
2. 求数列{a_n}的通项公式．

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高二第一次月考数学试题

参考答案

1. 选择题 CAABD ABDCD AC
2. 填空题64
3. 解答题

18.(1)由∥得（2b-c）cosA=acosC,由正弦定理，

（2sinB-sinC）cosA=sinAcosC,

∴sinB(2cosA-1)=0,又 A、B为三角形内角

∴A=60°

20.

（2）由（1），

∴

21