浙江省温州市十校联合体2015-2016学年高二下学期期末联考数学试卷

2015学年第二学期十校联合体高二期末联考

数 学 试 卷

本试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共4页，满分120分，考试时间是120分钟。

一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

2、从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么，互斥而不对立的两个事件是（ ）

A、至少有一个黑球与都是黑球 B、至少有一个黑球与至少有一个红球

C、恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 D、至少有一个黑球与都是红球

3、随机变量的所有可能取值为1,2,3,4,，且，则的值为( )

A、B、 C、11 D、10

4、若，则有（ ）

A、B、C、D、

5、已知函数，则“”是“在R上单调递增”的（ ）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件

C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

6、5个人排成一列，其中甲不排在末位，且甲、乙两人不能相邻，则满足条件的所有排列有（ ）

A、18种 B、36种 C、48种 D、54种

1. 已知定义在上的函数和满足，且

，则下列不等式成立的是（ ）

A．B．

C．D．

8、在三棱锥中，已知两两垂直且相等，点分别是线段和

上的动点，且满足,,则和所成角的余弦值的取值范

围是( )

A、B、C、D、

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.

9、若复数为纯虚数，则实数________，

10、设随机变量，则_____________，_______

11、已知，

则______________，被8除的余数是________

12、设袋中共有6个大小相同的球，其中3个红球，2个白球，1个黑球。若从袋中任取3

个球，则所取3个球中至少有2个红球的概率是_____________

13、已知函数，，直线与曲线切于点

，且与曲线切于点，则__________，直线的方程为________________

14、在棱长为1的正四面体ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，则______

15、已知函数f（x）＝（3x＋1）＋kx（k≥－2），若存在唯一整数m，使f（m）≤0，

则实数k的取值范围是________________

三、解答题:本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程。

16、（本题满分10分）已知展开式的二项式系数之和为256，展开式中含项的系数为112，

（1）求的值；

（2）求展开式中含项的系数

17、（本题满分10分）已知，

（1）求，，，；

（2）猜想与的关系，并证明之.

18、（本题满分10分）某甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为，乙射击一次命中10环的概率为s，若他们各自独立地射击两次，设乙命中10环的次数为ξ，

且ξ的数学期望Eξ=，表示甲与乙命中10环的次数的差的绝对值。

1. 求s的值及的分布列，
2. 求的数学期望.
   19、(本题满分10分）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P－ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.
   1. 求证：AB∥FG；
   2. 若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．

20、（本题满分12分） 已知函数

（1）当时，求函数的极值点；

（2）当时，若恒成立，试求的最大值；

（3）在（2）的条件下，当取最大值时，设，并

设函数有两个零点，求证：

---

2015学年第二学期十校联合体高二期末联考

答案及评分标准

1. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

题号	1	2	3	4	5	6	7	8
答案	A	C	B	C	A	D	D	B

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.

9、 1 ，10、，8 11、 2 ， 7

12、13、，14、

15、

三、解答题:本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程。

16、解：（1）二项式系数之和为，可得-------------------------------2分

设含的项为第项，则

故，即

则，解得

- ----------------------------------6分

（2）由（1）知

所以含项的系数为-------------------------10分

17、解：（1）,

……………………………………………..4分

（2）猜想：……………………………………5分

即

下面用数学归纳法证明：

①当时，;………………………………………6分

②假设当时，,

即…………………7分

那么当时，

即当时，等式也成立

由①②可知，对任意都成立……………………………………10分

18、解:(1)依题意知ξ∽B(2，s)，故Eξ=2s=，∴s=----------------------------2分．

的取值可以是0，1，2

1. 乙两人命中10环的次数均为0次的概率是，

1. 乙两人命中10环的次数均为1次的概率是，

1. 乙两人命中10环的次数均为2次的概率是，

∴(=0)=． ---------------------------------------------------4分

甲命中10环的次数为2次且乙命中10环的次数为0次的概率是，

甲命中10环的次数为0次且乙命中10环的次数为2次的概率是．

∴(=2)==， --------------------------6分

∴(=1)=1(=0)(=2)=--------------------------7分

故的分布列是

	0	1	2

- --------------------------------------8分

1. E=． --------------------------10分

19、解　(1)证明：在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以AB∥DE.

又因为AB⊄平面PDE，所以AB∥平面PDE.

因为AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FG，

所以AB∥FG. ----------------------4分

(2)因为PA⊥底面ABCDE，所以PA⊥AB，PA⊥AE.如图建立空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，＝(1,1,0)．

设平面ABF的法向量为n＝(x，y，z)，

则即

令z＝1，则y＝－1.所以n＝(0，－1,1)．

设直线BC与平面ABF所成角为α，

则sinα＝|cos〈n，〉|＝＝.

因此直线BC与平面ABF所成角的大小为. ---------------------------8分

设点H的坐标为(u，v，w)．

因为点H在棱PC上，所以可设＝λ(0<λ<1)，

即(u，v，w－2)＝λ(2,1，－2)，

所以u＝2λ，v＝λ，w＝2－2λ.

因为n是平面ABF的法向量，

所以n·＝0，即(0，－1,1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0，

解得λ＝.

所以点H的坐标为.

所以PH＝ ＝2 -----------------------10分

20. 解：（1）时，

当时， ， 当时，

在单调递增，在单调递减，

故函数有唯一的极大值点，无极小值点 ...................2分

（2）时，，设，

则.

当时，则，所以在单调递增，

又且时，与题意矛盾，舍.

当时，则，所以在单调递增，单调递减，

所以，............................................................................5分

所以，

故的最大值为1 .........................................................................................7分

（3）由（Ⅱ）知，当取最大值1时，

，

记.....................................................................9分

，

不妨设，由题意，

则，

欲证，只需证明：，只需证明：，

即证：，

即证，设，则只需证明：，

也就是证明：.....................................................10分

记，，

在单调递增，

，所以原不等式成立 .....................................................12分