海南省海南中学2014-2015学年高二上学期期末试题数学文

海南中学2014-2015学年度第一学期期末考试

高二文科数学 试题

第Ⅰ卷

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）下列关于算法与程序框图的说法正确的有

①求解某一类问题的算法是唯一的；

②表达算法的基本逻辑结构包括顺序结构、计算结构、条件结构、循环结构；

③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义；

④任何一个程序框图都必须有起止框．

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

（2）两个整数1908和4187的最大公约数是

（A）53 （B）43 （C）51 （D）67

（3）已知f(x)＝x⁵＋2x³＋3x²＋x＋1，应用秦九韶算法计算x＝3时的值，v₃的值为

（A）27 （B）11 （C）109 （D）36

（4）在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x；②y＝x²；③y＝x³；④y＝中．平均变化率最大的是

（A）④　 （B）③ （C）② （D）①

（5）设y＝e³，则y′等于

（A）3e²（B）e² （C）0 （D）e³

（6）设函数f(x)在x＝1处存在导数，则

（A）（B）（C）（D）

（7）如图，函数y＝f(x)的图象，则该函数在的瞬时变化率大约是

（A）0.2 （B）0.3 （C）0.4 （D）0.5

（8）已知对任意实数x，有，

且当，则当x<0时，有

（A）（B）

（C）（D）

（9）二次函数的图象过原点，且它的导函数的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数的图象的顶点在

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

（10）阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

（11）若函数f(x)＝x³－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是

（A）(0, ) （B）(－∞，1) （C）(0，＋∞) （D）(0，1)

（12）设函数是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数满足对于x∈R恒成立，则

1. f(2)>e²f(0)，f(2015)>e²⁰¹⁵f(0) (B)f(2)2f(0)，f(2015)>e²⁰¹⁵f(0)

(C)f(2)2f(0)，f(2015)2015f(0) (D)f(2)>e²f(0)，f(2015)2015f(0)

第Ⅱ卷

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．

（13）将二进制数110 101₍₂₎化成十进制数，结果为________，再转为七进制数，结果为________．

（14）已知P为椭圆4x²＋y²＝4上的点，O为原点，则|OP|的取值范围是________．

（15）函数y＝x³－3x²－9x图象的对称中心坐标为________．

（16）已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________．

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分10分）

读程序

（Ⅰ）画出程序框图；

（Ⅱ）当输出的y的范围大于1时，求输入的x值的取值范围。

（18）（本小题满分12分）

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合,且两个坐标系的单位长度相同,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为.

（Ⅰ）若直线l的斜率为-1,求直线l与曲线C交点的极坐标（）;

（Ⅱ）若直线l与曲线C相交弦长为,求直线l的参数方程.

（19）（本小题满分12分）

已知直线与抛物线相交于A,B两点（A在B上方）,O是坐标原点。

（Ⅰ）求抛物线在A点处的切线方程；

（Ⅱ）试在抛物线的曲线AOB上求一点P,使△ABP的面积最大.

（20）（本小题满分12分）

已知函数.

(Ⅰ)求f(x)的单调递减区间；

(Ⅱ)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

（21）（本小题满分12分）

已知圆，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点。

（Ⅰ）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程；

（Ⅱ）直线与点的轨迹交于不同两点A和B，且（其中O为坐标原点），求k的值．

（22）（本小题满分12分）

已知函数.

(Ⅰ)若函数y＝f(x)和函数y＝g(x)在区间(a，a＋1)上均为增函数，求实数a的取值范围；

(Ⅱ)若方程f(x)＝g(x)＋m有唯一解，求实数m的值．海南中学2014-2015学年度第一学期期末考试

高二文科数学 参考答案

一．选择题

B A D B C A D B C D A C

二．填空题

（13）53 104₍₇₎ （14）[1，2] （15）（1，-11） （16）(－∞，)

三．解答题

（17）解：(Ⅰ)

(Ⅱ) 由程序可得，

∵y>1，

∴①当x≤0时，，

即2^－x>2，

∴－x>1，

∴x<－1.

②当x>0时，>1，

即x>1，故输入的x值的范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

（18）解：(Ⅰ)直线l的方程:y-1=-1(x+1),即y=-x,

C:ρ=4cos θ,即x²+y²-4x=0,

联立方程得2x²-4x=0,

∴A(0,0),B(2,-2);极坐标为A(0,0),B.

(Ⅱ) C:(x-2)²+y²=4 ,

,

设直线l的方程为kx-y+k+1=0,

∴，∴k=0或k=.

∴l:(t为参数)或(t为参数)

（19）解：（Ⅰ）由得

故令

抛物线在A点的切线方程为。

（Ⅱ）由及直线的位置关系可知,点P应位于直线的下方.

故令,

设切点为(x₀,y₀),过切点(x₀,y₀)的切线与直线平行,

所以.所以x₀=,

所以切点坐标为(,-),

此时该点为抛物线上与线段AB的距离最大的点,

故点P(,-)即为所求.

所以在抛物线的曲线AOB上存在点P(,-),使△ABP的面积最大.

（20）解：(Ⅰ)f ′(x)＝－3x²＋6x＋9.

令f ′(x)<0，解得x<－1，或x>3，

∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)．

(Ⅱ)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，

f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)>f(－2)．

∵在(－1,3)上f ′(x)>0，

∴f(x)在(－1,2]上单调递增．

又由于f(x)在[－2，－ 1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值．

于是有22＋a＝20，解得a＝－2，

∴f(x)＝－x³＋3x²＋9x－2.

∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7.

（21）解：(Ⅰ)配方，圆

由条件，，故点的轨迹是椭圆，，椭圆的方程为

(Ⅱ)将代入，得．

由直线与椭圆交于不同的两点，得

即．

设，则．

由，得．

而

．

于是．解得．故k的值为．

（22）解：(Ⅰ)f′(x)＝2x－＝(x>0)，

当02时，f′(x)>0，

要使f(x)在(a，a＋1)上递增，必须a≥2，

g(x)＝－x²＋14x＝－(x－7)²＋49，

若使g(x)在(a，a＋1)上递增，必须a＋1≤7，即a≤6，

综上，当2≤a≤6时，f(x)，g(x)在(a，a＋1)上均为增函数．

(Ⅱ)方程f(x)＝g(x)＋m有唯一解⇔有唯一解，

设h(x)＝2x²－8lnx－14x，

h′(x)＝4x－－14＝(2x＋1)(x－4)(x>0)，

h′(x)，h(x)随x变化如下表：

由于在(0，＋∞)上，h(x)只有一个极小值，∴h(x)的最小值为－24－16ln2，

故当m＝－24－16ln2时，方程f(x)＝g(x)＋m有唯一解．