海南省海南中学2014-2015学年高二上学期期末试题数学理

海南中学2014—2015学年第一学期期末考试

高二数学理科试卷（试题）

（1-16班用）

第一卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知复数满足方程（为虚数单位），则

A．B．C．D．

2．已知函数，若，则的值等于

A．B．C．D．

3．如图，函数y＝f(x)的图象，则该函数在的瞬时变化率大约是

A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5

4．过曲线图象上一点(2,2)及邻近一点(2,2)

作割线，则当时割线的斜率为

A．B．C．1D．

5．若二次函数f(x)的图象与x轴有两个异号交点，它的导函数(x)的

图象如右图所示，则函数f(x)图象的顶点在

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

6．已知向量=(2,4,5)，=(3,x,y) 分别是直线l₁、l₂的方向向量，若l₁∥l₂，则

A．x=6、y=15B．x=3、y=C．x=3、y=15D．x=6、y=

7．对于两个复数，，有下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论的个数为

A．1B．2 C．3 D．4

8．如图，在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD

的中心，E、F分别是、AD的中点，那么异面直线OE和

所成的角的余弦值等于

A．B．

C．D．

9．已知函数，则

A．B．C．D．

10．已知双曲线(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点在抛物线y²=24x的准线上，则双曲线的方程为

A．B．C．D．

11．已知不等式恒成立，则k的最大值为

A．eB．C．D．

12．对于三次函数，给出定义：设是函数y=f(x)的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数y=f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．

设函数，则=

A．2014B．2013C．D．1007

---

第二卷（非选择题，共90分）

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知复平面上的正方形的三个顶点对应的复数分别为，那么第四个顶点对应的复数是▲．

14．若直线的方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值等于▲．

15．椭圆（）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，若垂直于，则椭圆的离心率为▲．

16．如图，直线将抛物线与轴所围图形

分成面积相等的两部分，则=▲．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本题满分12分）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合，且两个坐标系的单位长度相同．已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为．

(Ⅰ)若直线l的斜率为-1，求直线l与曲线C交点的极坐标；

(Ⅱ)若直线l与曲线C相交弦长为，求直线l的参数方程（标准形式）．

18．（本题满分12分）已知函数f(x)= e^x－ax－1．

(Ⅰ)若a=1，求证：；

(Ⅱ)求函数y=f(x)的值域．

---

19．（本题满分12分）如图，直三棱柱中，，，D是棱上的动点．

(Ⅰ)证明：；

(Ⅱ)若平面BDC₁分该棱柱为体积相等的两个部分，

试确定点D的位置，并求二面角的大小．

20．（本题满分12分）一块长为、宽为的长方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖方盒．

(Ⅰ)试把方盒的容积V表示为的函数；

(Ⅱ)试求方盒容积V的最大值．

21．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知两点和，动点M满足，设点M的轨迹为C，半抛物线：（），设点．

(Ⅰ)求C的轨迹方程；

(Ⅱ)设点T是曲线上一点，曲线在点T处的切线与曲线C相交于点A和点B，求△ABD的面积的最大值及点T的坐标．

22．（本小题满分12分）已知函数，．

(Ⅰ)若，求函数的极值；

(Ⅱ)设函数，求函数的单调区间；

(Ⅲ)若在区间上不存在，使得成立，求实数的取值范围．

海南中学2014—2015学年第一学期期末考试高二数学（理科）

参考解答与评分标准

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	A	C	D	B	D	D	C	B	B	C	A	A

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．；14．；15．；16．．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本题满分12分）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合，且两个坐标系的单位长度相同，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为．

(Ⅰ)若直线l的斜率为-1，求直线l与曲线C交点的极坐标；

(Ⅱ)若直线l与曲线C相交弦长为，求直线l的参数方程（标准形式）．

17．解：(Ⅰ)直线l的方程：y1=1(x+1)，即y=x；（1分）

C：ρ=4cos θ，即x²+y²4x=0，（2分）

联立方程得2x²4x=0，∴A(0,0)，B(2,2)；（4分）

极坐标为A(0,0)，B；（5分）

(Ⅱ) C：(x2)²+y²=4，弦心距，（6分）

设直线l的方程为kxy+k+1=0，∴，∴k=0或k=．（8分）

∴直线l：(t为参数)或(t为参数)（10分）

18．（本题满分12分）已知函数f(x)= e^x－ax－1．

(Ⅰ)若a=1，求证：；

(Ⅱ)求函数y=f(x)的值域．

18．解：(Ⅰ)当a=1时，f(x)= e^x－x－1，由得

x	()	0
f’(x)		0	+
f(x)	单调减	极小值	单调增

∴，从而，即证恒成立；（6分）

(Ⅱ)f(x)的定义域为R，.

若，则，所以f(x)在R上单调递增，值域为R；（8分）

若，则当时，；当时，；

所以，f(x)在上单调递减，在上单调递增，

，值域为．（12分）

19．（本题满分12分）如图，直三棱柱中，，，D是棱上的动点．

(Ⅰ)证明：；

(Ⅱ)若平面BDC₁分该棱柱为体积相等的两个部分，

试确定点D的位置，并求二面角的大小．

19．解：(Ⅰ)∵C₁C⊥平面ABC，∴C₁C⊥BC（1分）

又，即BC⊥AC，AC∩C₁C = C

∴BC⊥平面ACC₁A₁，

又DC₁平面ACC₁A₁，∴BC⊥DC₁；（4分）

(Ⅱ)∵，

依题意，

∴，D为AA₁中点；

（7分）

（法1）取的中点，过点作于点，连接

，面面面

，得点与点重合，且是二面角的平面角． （10分）

设，则，，得二面角的大小为．

（12分）

（法2）以C为空间坐标原点，CA为x轴正向、CB为y轴正向、CC₁为z轴正向，建立空间直角坐标系，设AC的长为1，则A(1,0,0)、B(0,1,0)、D(1,0,1)、A₁(1,0,2)、B₁(0,1,2)、C₁(0,0,2)． （8分）

作AB中点E，连结CE，则CE⊥AB，从而CE⊥平面A₁BD，平面A₁BD的一个法向量（9分）

设平面BC₁D的一个法向量为，则

∴，令，得，∴

∴

故二面角为． （12分）

20．（本题满分12分）一块长为、宽为的长方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖方盒．

(Ⅰ)试把方盒的容积V表示为的函数；

(Ⅱ)试求方盒容积V的最大值．

20．解：(Ⅰ)依题意，折成无盖方盒的长为、宽为、高为，故体积

，其中常数；（5分）

(Ⅱ)由（6分）得，（7分）

在定义域内列极值分布表（10分）

x	(0,)
f’(x)	+	0
f(x)	单调增	极大值	单调减

∴．（12分）

21．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知两点和，动点M满足，设点M的轨迹为C，半抛物线：（），设点．

(Ⅰ)求C的轨迹方程；

(Ⅱ)设点T是曲线上一点，曲线在点T处的切线与曲线C相交于点A和点B，求△ABD的面积的最大值及点T的坐标．

21．解：（Ⅰ）设点，由，得，

所以的轨迹方程是；（4分）

（Ⅱ）抛物线为，设（），则，所以切线为：

，即，联立，,

判别式△，设，，则，过点作轴的垂线交直线于点，于是，得，则，

故△ABD的面积，此时．（12分）

22．（本小题满分12分）已知函数，．

(Ⅰ)若，求函数的极值；

(Ⅱ)设函数，求函数的单调区间；

(Ⅲ)若在区间上不存在，使得成立，求实数的取值范围．

22．解：(Ⅰ)当时，，列极值分布表

∴在上递减，在上递增，∴的极小值为； …… 3分

(Ⅱ)∴ …… 4分

①当时，，∴在上递增；

②当时，，

∴在上递减，在上递增； ……… 7分

(Ⅲ)先解区间上存在一点，使得成立

在上有解当时， ……… 8分

由(Ⅱ)知

①当时，在上递增，∴∴

②当时，在上递减，在上递增

(ⅰ)当时，在上递增，∴，∴无解

(ⅱ)当时，在上递减

∴，∴；

(ⅲ)当时，在上递减，在上递增

∴

令，则

∴在递减，∴，∴无解，

即无解；

综上：存在一点，使得成立，实数的取值范围为：或．

所以不存在一点，使得成立，实数的取值范围为．

………… 12分