海南省文昌中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学（文）试卷

2014—2015学年度第二学期

高二年级数学(文科)期考试题

考试时间：120分钟 满分：150分

第Ⅰ卷 选择题（共60分）

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1．已知i是虚数单位，若，则乘积的值是（ ） A．－15B．－3C．3D．152．已知x、y的取值如下表：

x	0	1	3	4
y	2.2	4.3	4.8	6.7

从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为，则（ ）

A．1B．2C．2.6D．3.6

3. 根据下面一组等式

S₁＝1，

S₂＝2＋3＝5，

S₃＝4＋5＋6＝15，

S₄＝7＋8＋9＋10＝34，

S₅＝11＋12＋13＋14＋15＝65，

S₆＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，

S₇＝22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＝175，

…

可得S₁＋S₃＋S₅＋…＋S_2n－1＝( )

A．2n²B．n³

C．2n³D．n⁴

4. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，

则输出n的值为(　　)

A．7B．6C．5D．4

5. 如图，已知l₁∥l₂，AF∶FB＝2∶5，BC∶CD＝4∶1，则 ＝(　　)

A．2

B．3

C．4

D．5

6．如图，是⊙O的切线，为切点，为割线,PC=2，PA=1，，

则( )

A．3

B．2

C．3

D． 2

7．点的直角坐标是，则点的极坐标为（ ）

A．B．C．D．

8.“直线与双曲线有唯一的公共点”是“直线与双曲线相切”的(　　)

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

9. 函数f(x)＝e^xcosx的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为(　　)

A．B．C．D．

10．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|＝6，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为(　　)

A．3B．6C．9D．18

11．若关于x的不等式x³－3x²≥9x－2＋m对任意x∈[－2，2]恒成立，则m的取值范围是(　　)

A．(－∞，－20]B．(－∞，7]

C．(－∞，0] D．[－20, 7]

12．在平面直角坐标系中，两点P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)间的“L－距离”定义为||P₁P₂|＝|x₁－x₂|＋|y₁－y₂|，则平面内与x轴上两个不同的定点F₁，F₂的“L－距离”之和等于定值(大于||F₁F₂|)的点的轨迹可以是(　　)

A B C D

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)

13．若复数z＝ (a∈R)，且z是纯虚数，则 |a＋2i| 等于 .

14．如右图所示,直线与圆相切于点,是弦上的点,.若AD=2，AC=8 ,则_______.

15．在极坐标系中，是极点，设点，，则O

点到AB所在直线的距离为 .

16．若下列两个方程x²＋(a－1)x＋a²＝0，x²＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数根，则实数a的取值范围是__________．

三、解答题 (本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.)

17. (本小题满分10分)

已知在极坐标系中，曲线C:与曲线C:,

（1）求出曲线C与曲线C的直角坐标方程；

（2）求出曲线C与曲线C的相交的弦长。

18. (本小题满分12分)

如图，的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若的面积，求的大小。

19. (本小题满分12分)

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

①sin²13°＋cos²17°－sin13°cos17°；

②sin²15°＋cos²15°－sin15°cos15°；

③sin²18°＋cos²12°－sin18°cos12°；

④sin²(－30°)＋cos²60°－sin(－30°)cos60°；

⑤sin²(－25°)＋cos²55°－sin(－25°)cos55°．

（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

（2）根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广到一个三角恒等式，并证明你的结论．

---

20. (本小题满分12分)

如图,是直角三角形,.以为直径的圆交于点,过E作圆的切线交BC于D点.连结交圆于点.

（1）求证:、、、四点共圆；

（2）求证:D是BC的中点；

（3）求证：

21. (本小题满分12分)

已知椭圆过点,离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点且斜率为（）的直线与椭圆相交于两点，直线，分别交直线于，两点,线段的中点为.记直线的斜率为，求证:为定值.

22. (本小题满分12分)

设函数在及时取得极值．

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．

---

2014—2015学年度第二学期

高二年级数学(文科)期考试题参考答案

第Ⅰ卷 选择题（共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	B	C	D	D	A	D	C	B	B	C	A	A

12. [解析]　设F₁(－c,0)，F₂(c,0)，P(x，y)，则|x＋c|＋|x－c|＋2|y|＝2a.

当y>0时，y＝，

当y≤0时，y＝∴图像应为A.或排除法。

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 2 14. AB=4 15. 16. (－∞，－2]∪[－1，＋∞)

三、解答题（本大题共6小题，满分70分）

17．解:（1）∵曲线C:

∴2x=1 即……………………………………………………2分

∵曲线C:，两边都乘上

∴……………………………………………………5分

（2）将极坐标方程化为普通方程为与,

联立方程组成方程组求出两交点的坐标和,

故弦长等于. …………………………………………………………10分

18．证明：（Ⅰ）由已知条件，可得

因为是同弧上的圆周角，所以

故△ABE∽△ADC. ……………………………………………………5分

（Ⅱ）因为△ABE∽△ADC，所以，即AB·AC=AD·AE.

又S=AB·ACsin，且S=AD·AE，

故AB·ACsin= AD·AE.

则sin=1，又为三角形内角，

所以=90°. ……………………………………………… 10分

19．解法一：

（1）选择②式，计算如下：

sin²15°＋cos²15°－sin15°cos 15°＝1－sin30°＝1－＝．

（2）三角恒等式为sin²α＋cos²(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝． ……………4分

证明如下：

sin²α＋cos²(30°－α)－sinαcos(30°－α)

＝sin²α＋(cos 30°cos α＋sin30°sinα)²－sinα(cos 30°cos α＋sin30°sinα)

＝sin²α＋cos²α＋sinαcosα＋sin²α－sinαcosα－sin²α

＝sin²α＋cos²α＝………………………………………………………12分

解法二：

（1）同解法一．

（2）三角恒等式为sin²α＋cos²(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝．

证明如下：

sin²α＋cos²(30°－α)－sinαcos(30°－α)

＝－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)

＝(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－

＝

＝．

20．证明：（1）如图,连结、,则

∵为圆的切线, ∴ OE⊥DE

∴.

∴、、、四点共圆. …………5分

（2）为圆的切线, DB为圆的切线, ∴DE=DB

∵三角形BEC是直角三角形

∴ DB=DE=DC 即D是BC的中点 ……………………………………8分

（3）证明：延长交圆于点. 由为圆的切线,

∴,

∴,

∴……………………………………12分

21. 解：（Ⅰ）依题得 解得，.

所以椭圆的方程为. ………………………………4分

（Ⅱ）根据已知可设直线的方程为.

由得………………5分

设,则……………6分

直线，的方程分别为：，

令，则,

所以……………………………………9分

所以

. ………………………………12分

22．解：（Ⅰ），

因为函数在及取得极值，则有，．

即

解得，． ………………………………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，。

．…………………………………6分

当时，；

当时，；

当时，． ………………………………………8分

所以，当时，取得极大值，

又，．

则当时，的最大值为． …………………10分

因为对于任意的，有恒成立，

所以　，解得　或，

因此的取值范围为． ………………………12分