海南省文昌中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学（理）试卷

2014—2015学年度第二学期

高二年级数学(理科)期考试题

（时间：120分钟 满分：150分）

第Ⅰ卷 选择题（共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，下列每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的代号，涂在答题卡上）。

1．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，…，(x_n，y_n)，

则下列说法中不正确的是（ ）

A．由样本数据得到的回归方程为＝x＋必过样本点的中心(，)

B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

C．用相关指数R²来刻画回归效果，R²的值越小，说明模型的拟合效果越好

D．若变量y和x之间的相关系数r ＝ －0.936 2，则变量y和x之间具有线性相关关系

2．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，则不同的种植方法共有（ ）

A．24种B．18种C．12种D．6种

3．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）

A．0.648B．0.432C．0.36D．0.312

4．在x(1＋x)⁶的展开式中，含x³项的系数为（ ）

A．30B．20C．15D．10

5．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回,则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下,第2次抽到的是卡口灯泡的概率为（ ）

A．B．C．D．

6．已知关于的二项式展开式的二项式系数之和 为32，常数项为80，则

的值为（ ）

A．1B．C．2D．

7．随机变量ξ的概率分布规律为P(X＝n)＝ (n＝1、2、3、4)，其中a为常数，则P的值为（ ）

A．B．C．D．

8．如图，用4种不同颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（ ）

1	4	5
2
3

A．72

B．96

C．108

D． 120

9．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）

（附：若随机变量服从正态分布，则,

.）

A．B．1C．D．

10．方程ay＝b²x²＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）

A．60条B．62条C．71条D．80条

11．设m为正整数,(x+y)^2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)^2m+1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a=7b,则m=　(　 )

A．5B. 7C. 6D．8

12．定义在R上的奇函数满足，且不等式在上恒成立，则函数=的零点的个数为( )

A．1B．2C．3D．4

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在答卷上）

13．3名男生和3名女生排成一排，男生不相邻的排法有 种．

14．曲线与直线 所围成的封闭图形的面积为 ．

15．的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则．

16．考查正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 ．

三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）。

x	2	4	5	6	8
y	30	40	60	50	70

17.（本小题满分10分）某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：

（1）求回归直线方程；

（2）试预测广告费支出为10百万元时，

销售额多大？

附：回归方程中

，

18．(本小题满分12分) 电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．

（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？

	非体育迷	体育迷	合计
男
女		10	55
合计

附：K²＝.

P(K2≥k)	0.05	0.01
k	3.841	6.635

（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．

19. （本小题满分12分）设函数.

（1）若曲线在点处与直线相切，求的值；

（2）求函数的极值点与极值.

20.（本小题满分12分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,对人体健康和大气环境质量的影响很大.我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从360天的市区PM2.5监测数据中,随机抽取15天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶).

（1）从这15天的数据中任取3天

的数据，记ξ表示空气质量达

到一级的天数，求ξ的分布列；

（2）以这15天的PM2.5日均值来

估计这360天的空气质量情况,

则其中大约有多少天的空气质

量达到一级.

21.（本小题满分12分）

某科技公司组织技术人员进行新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验A,B,C，若A,B,C实验成功的概率分别为．

（1）对A，B，C实验各进行一次，求至少有一次实验成功的概率；

（2）该项目要求实验A，B各做两次，实验C做3次，如果A实验两次都成功则进行实验B并获奖励10000元，两次B实验都成功则进行实验C并获奖励30000元，3次C实验只要有两次成功，则项目研发成功并获奖励60000元（不重复得奖），且每次实验相互独立，用X表示技术人员所获奖励的数值，写出X的分布列和数学期望.

22.（本小题满分12分）设函数（），．

（1）若函数图象上的点到直线距离的最小值为，求的值；

（2）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设，，试探究与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

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2014—2015学年度第二学期

高二年级数学(理科)期考试题参考答案

第Ⅰ卷 选择题（共60分）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	C	B	A	C	D	C	D	B	A	B	C	C

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．144 14． 15．3 16．

三、解答题(本大题共6个小题，共70分)

17．解：（1）由题目所提供数据可得：＝5，＝50，＝145，

＝13 500，_iy_i＝1 380. …………………………………………2分

于是可得b＝＝＝6.5，…………………4分

a＝－b＝50－6.5×5＝17.5.

因此，所求回归直线方程是＝6.5x＋17.5 ……………………6分

（2）据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10百万元时．

＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)，

即这种产品的销售收入大约为82.5百万元． …………………10分

………………2分

18．解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：

	非体育迷	体育迷	合计
男	30	15	45
女	45	10	55
合计	75	25	100

将2×2列联表中的数据代入公式计算，得

K²＝＝＝≈3.030. ………5分

因为3.030<3.841，

所以我们没有充分理由认为“体育迷”与性别有关． …………………6分

（2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，

即从观众中抽取一名“体育迷”的概率. …………………7分

由题意知X～B(3，)，从而X的分布列为

X	0	1	2	………………………10分3
P

E(X)＝np＝3×＝

D(X)＝np(1－p)＝3××＝ ………………………12分

19．解：（Ⅰ）,∵曲线在点处与直线相切，

∴…………………5分

（Ⅱ）∵,

当时，，函数在上单调递增，

此时函数没有极值点. …………………………………7分

当时，由， ………………………………8分

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增， ………………10分

∴此时是的极大值点，

是的极小值点，

…………………………………………………………………………12分

20．解:（1）由题意知ξ满足超几何分布N=15,M=6,n=3,

ξ的可能取值为0,1,2,3,

其分布列为P(ξ=k)= (k=0,1,2,3), …………………………1分

所以P(ξ=0)=…………………………2分

…………………………3分

…………………………4分

…………………………5分

所以ξ的分布列是:

…………7分

（2）依题意知,一年中每天空气质量达到一级的概率为…………8分

一年中空气质量达到一级的天数为η,

则η～B, ………………………………………10分

所以E(η)=360×=144,

所以一年中空气质量达到一级的天数为144天. …………………12分

21．解：

22.（1）解法一：设函数图象上任意一点为，

则点到直线的距离为

，

当，即时，，由，

解得，或， ………………………………4分

又因为抛物线与直线相离，

由得，

故，即，所以，即． …………………6分

解法二：因为，所以，令，

得，此时，则点到直线的距离为，

即，解之得，或．

（以下同解法一）

（2）设，则．

所以当时，；当时，．

因此时，取得最小值，

则与的图象在处有公共点． …………………8分

设与存在 “分界线”，方程为，即，

由在恒成立，

则在恒成立 ．

所以恒成立，

因此…………………………………10分

．下面证明恒成立．

设，则．

所以当时，；当时，．

因此时取得最大值，则成立．

故所求“分界线”方程为：． …………………12分