海南省文昌中学2014-2015学年高二下学期第一次月考数学试卷

(时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.f(x)＝＋3＋2，若，则a的值为(　　)

1. B.C.D.
   2.若函数f(x)＝－x³＋3x²＋9x＋a在区间上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为(　　)
   A．－5B．7C．10D．－19
   3.等于(　　)
   A．B．C．D．
   4曲线y＝e^－2x＋1在(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形面积为(　　)
   A.错误！未找到引用源。B.错误！未找到引用源。C.错误！未找到引用源。D．1
   5.使函数y＝xsinx＋cosx是增函数的区间可能是(　　)
   A．(，) B．(π，2π)C．(，)D．(2π，3π)
   6.对任意的x∈R，函数f(x)＝x³＋ax²＋7ax不存在极值点的充要条件是(　　)
   A．a＝0或a＝7B．a＝0或a＝21C．a<0或a>21 D．0≤a≤21
   7.函数f(x)＝(1－cosx)sinx在的图象大致为(　　)
   
   8.设a∈R，若函数y＝e^x＋ax，x∈R有大于零的极值点，则( )
   1. a＜-1(B)a＞-1 (C)a＞-(D)a＜-

9．若a>2，则方程x³－ax²＋1＝0在(0,2)上恰好有(　　)

A．0个根B．1个根C．2个根D．3个根

10.定义域为的可导函数的导函数为，满足，且则不等式的解集为（ )

A.B.C.D.

11.设f(x),g(x)在上可导,且,则当a

A.f(x)>g(x) B.f(x)g(x)+f(a) D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b)

12.若函数f(x)＝xcosx在(0，＋∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a₁，a₂，…，a_n，…，则对任意正整数n必有(　　)

A．π<a_n＋1－a_n<B.<a_n＋1－a_n<π

C．0<a_n＋1－a_n<D.－<a_n＋1－a_n<0

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)

13.由抛物线y＝x²－x，直线x＝－1及x轴围成的图形的面积为_________

14.若函数f(x)=x(x-c)²在x=2处有极大值,则常数c的值为　　__　　

15．f(x)＝－x²＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上单调递减，则b的取值范围为________．

16.如果对定义在R上的函数f(x)，以任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有x₁f(x₁)＋x₂f(x₂)>x₁f(x₂)＋x₂f(x₁)，则称函数f(x)为“H函数”．给出下列函数：

①y＝－x³＋x＋1；②y＝3x－2(sinx－cosx)；

③y＝e^x＋1；④f(x)＝

以上函数是“H函数”的所有序号为________．

三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知，，

(1)求错误！未指定书签。的解析式。(2)求错误！未指定书签。的最小值，并求此时与的夹角大小。

18.(12分)已知函数f(x)＝ax³＋bx²的图象经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x＋9y＝0垂直．

(1)求实数a，b的值；

(2)若函数f(x)在区间上单调递增，求m的取值范围．

19.(12分)设函数f(x)＝2x³－3(a＋1)x²＋6ax(a∈R)．

(1)当a＝1时，求证：f(x)为R上的单调递增函数；

(2)当x∈时，若f(x)的最小值为4，求实数a的值．

20．(12分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

(1)求k的值及f(x)的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值．

21.(12分)定义在R上的函数g(x)及二次函数h(x)满足：

g(x)＋2g(－x)＝e^x＋－9，h(－2)＝h(0)＝1且h(－3)＝－2.

(1)求g(x)和h(x)的解析式；

(2)对于x₁，x₂∈，均有h(x₁)＋ax₁＋5≥g(x₂)－x₂g(x₂)成立，求a的取值范围；

22.(12分)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1.

(1)若xf′(x)≤x²＋ax＋1，求a的取值范围；

(2)证明：(x－1)f(x)≥0.

第一次月考（理科）数学参考答案

1.A 2.A 3. D 4.A 5.C 6.D 7.C 8. A 9.B 10.B 11. C 12.B

13.114.6.15.(－∞，－1]16.②③

17.解：（1）………………4分

(2),令.得或.列表如下：

					1	(1，4)	4
		正	0	负	0	正
		单调增	9	单调减		单调增

所以错误！未找到引用源。的最小值为，此时，………………8分

，………………10分

18.解　(1)∵f(x)＝ax³＋bx²的图象经过点M(1,4)，

∴a＋b＝4.①又f′(x)＝3ax²＋2bx，则f′(1)＝3a＋2b，由条件f′(1)(－)＝－1，

得3a＋2b＝9.②由①，②解得a＝1，b＝3. ………………6分

(2)f(x)＝x³＋3x²，f′(x)＝3x²＋6x，令f′(x)＝3x²＋6x≥0，得x≥0，或x≤－2，

若函数f(x)在区间上单调递增，则

⊆(－∞，－2]∪∪上是单调增函数，此时在上的最小值为f(1)＝3a－1，

∴3a－1＝4，∴a＝>1(舍去)；………………6分

②当1<a<3时，f(x)在(1，a)上是减函数，在区间(a,3)上是增函数，故在上的最小值为f(a)＝2a³－3(a＋1)a²＋6a²＝4.化简得(a＋1)(a－2)²＝0，

∴a＝－1<1(舍去)，或a＝2；………………9分

③当a≥3时，f(x)在区间(1，a)上是减函数，故f(3)为最小值，

∴54－27(a＋1)＋18a＝4，解得a＝<3(舍去)．综上可知，a＝2. …………12分

20．解析　(1)由题意，隔热层厚度为xcm时，每年能源消耗费用为C(x)＝，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝，而建造费用为C₁(x)＝6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

f(x)＝20C(x)＋C₁(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)……………6分

(2)＝6－，令＝0，则＝6，解得

x＝5或x＝－(舍去)．

当0<x<5时，<0，当5<x<10时，>0，可知x＝5是f(x)的最小值点，

对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.故当隔热层修建5 cm厚时，

总费用达到最小值70万元．………………12分

21解：(1)∵g(x)＋2g(－x)＝e^x＋－9，①

∴g(－x)＋2g(x)＝e^－x＋－9，即g(－x)＋2g(x)＝2e^x＋－9，②

由①②联立解得，g(x)＝e^x－3.

∵h(x)是二次函数，且h(－2)＝h(0)＝1，可设h(x)＝ax(x＋2)＋1，

由h(－3)＝－2，解得a＝－1，

∴h(x)＝－x(x＋2)＋1＝－x²－2x＋1，

∴g(x)＝e^x－3，h(x)＝－x²－2x＋1. ………………6分

(2)设φ(x)＝h(x)＋ax＋5＝－x²＋(a－2)x＋6，

F(x)＝g(x)－xg(x)＝e^x－3－x(e^x－3)＝(1－x)e^x＋3x－3，

依题意知，当－1≤x≤1时，φ(x)_min≥F(x)_max.

∵F′(x)＝－e^x＋(1－x)e^x＋3＝－xe^x＋3，在上单调递减，

∴F′(x)_min＝F′(1)＝3－e>0，

∴F(x)在上单调递增，∴F(x)_max＝F(1)＝0，

∴解得－3≤a≤7，

∴实数a的取值范围为．………………12分

22解　(1)f′(x)＝＋lnx－1＝lnx＋，

xf′(x)＝xlnx＋1，题设xf′(x)≤x²＋ax＋1等价于lnx－x≤a.

令g(x)＝lnx－x，则g′(x)＝－1.当0<x<1时，g′(x)>0；当x≥1时，g′(x)≤0，

x＝1是g(x)的最大值点，g(x)≤g(1)＝－1.综上，

a的取值范围是[－1，＋∞)……………6分

(2)由(1)知，g(x)≤g(1)＝－1，

即g(x)＋1≤0，即lnx－x＋1≤0，当0<x<1时，

f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1＝xlnx＋(lnx－x＋1)≤0；

当x≥1时，f(x)＝lnx＋(xlnx－x＋1)＝lnx＋x(lnx＋－1)

＝lnx－x(ln－＋1)≥0.所以(x－1)f(x)≥0. ………………12分