湖北省宜昌市长阳县第二高级中学2016-2017学年高二3月月考数学（理）试卷

湖 北 宜 昌 市 长 阳 二 中

2015级高二下3月考试数学（理科）试题

本卷满分150分，选择题12小题共60分，填空题4小题共20分，解答题6小题共70分

一、选择题(本题12小题共60分，请将唯一正确答案的序号填涂在答题卡对应位置)

1.已知三个集合及元素间的关系如图所示，则（　　）
A.{5，6}              B.{3，5，6}
C.{3}               D.{0，4，5，6，7，8}

2.已知随机变量服从正态分布，且，

则(　　)
A.0.6588    B.0.6883    C.0.6826    D.0.6586

3.命题“”的否定是（　　）
A.  B.  

C.  D.

4.若满足，则对于（　　）
A.在处取得最大值 B.在处取得最大值 C.在处取得最大值 D.无最大值

5.已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（　　）
A.   B.   C. D.

6.已知点、，若直线与线段相交，则的取值范围是（　　）
A. B. 

C. D.

7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是

某多面体的三视图，则该多面体的体积为（　　）
A.16      B.    

 C.32      D.48

8.圆与直线的相交所得弦长为，则（　　）
A.    B.    C.    D.

9.展开式中，项的系数为（　　）
A.30     B.70     C.90     D.-150

10.双曲线的一条渐近线被圆所截弦长为2，则该双曲线的实轴长为（　）
A.1      B.2     C.3      D.6

11.已知多项式，则（　　）
A.32     B.42     C.46      D.56

12.椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该椭圆的离心率是（　　）
A.  B.  C. D.

二、填空题(本题4小题共20分，请将最终结论填下在答题卡对应位置)

13.某苗圃对一批即将出售的树苗进行了抽样统计，

得到苗高（单位：cm）的频率分布直方图如图．

若苗高属于区间[100，104）的有4株，则苗高属于

区间[112，116]的有 __资*源%库 ____ 株．

14.供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）

与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据．请根据下表

提供的数据(其中,)，用最小二乘法求出关于的

线性回归方程_____ ．

15.如右图是一程序框图，则输出结果为 ______ ．

16.如图，一环形花坛分成四块，

现有4种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，

且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为 ______ ．

三、解答题(本题6小题共70分，请写出必要的解答过程)

17.（本题满分10分）

为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取50人，从女生

中随机抽取70人参加消防知识测试，统计数据得到如下列联表：

（1）试判断是否有90%的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关； 附：

（2）为了宣传消防，从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法，随机选出6人组成

宣传小组．现从这6人中随机抽取2人到校外宣传，求到校外宣传的同学中至少一名男生的概率。

18. （本题满分12分）

某同学参加学校自主招生3门课程的考试，假设该同学第一门课程取得优秀成绩概率为，第二、

第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立，

记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为

	0	1	2	3

（1）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求的值；
（2）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望．

19. （本题满分12分）

设数列的前项和，数列满足，．
（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

20. （本题满分12分）

已知，
（1）求出图象的对称中心的坐标；
（2）三个内角、、所对边为、、，若，．求的最小值．

21. （本题满分12分）

如图，在棱长为的正方体中，．

（1）求两条异面直线与所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．

22. （本题满分12分）

已知椭圆，一个顶点为，离心率为，直线与

椭圆交于不同的两点、两点．
（1）求椭圆的方程；

（2）当的面积为时，求的值．

2015级高二下3月考试数学（理科）试题

答案和解析

【答案】
1.A    2.C    3.A    4.C    5.C    6.C    7.A    8.A    9.B    10.B    11.B    12.D    
13.11
14.y=0.7x+0.35
15.
16.84
17.解：（1）因为K²=≈2.057，
且2.057＜2.706，
所以没有90%的把握认为，消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关；
（2）用分层抽样的方法抽取时，抽取比例是=，
则抽取女生为30×=4人，抽取男生为15×=2人；
从6人抽取2人事件总体为，记从6人抽取2人至少一名男生为事件A

于是到校外宣传的同学中至少一名男生的概率为。

18.解：（1）由已知得该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率：
P=1-P（ξ=0）=1-=．
∵P（ξ=0）=，P（ξ=3）=，p＜q，
∴，
解得p=，q=．
（2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=，P（ξ=3）=，
P（ξ=1）=++=，
P（ξ=2）=+=，
∴Eξ==．
19.解：（1）n=1时，a₁=S₁=2，
∴当n≥2时，S_n-1=2ⁿ-2，
∴a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ⁺¹-2）-（2ⁿ-2）=2ⁿ，
当n=1时，成立，
∴数列{a_n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=2ⁿ；
（2）b_n=，
由c_n=a_n+b_n，
数列{c_n}的前n项和T_n，T_n=a₁+b₁+a₂+b₂+…+a_n+b_n
=2+2²+2³+…+2ⁿ+1+2+3+…+n
=2+2²+2³+…+2ⁿ+， =+， =2ⁿ⁺¹-2+，
数列{c_n}的前n项和T_n=2ⁿ⁺¹-2+．
20.解：（1）f（x）=cos²x-sin2x-=cos2x-sin2x=cos（2x+），
令2x+=+kπ，解得x=+，
∴f（x）的对称中心为：（+，0），
（2）∵f（A）+1=0，即cos（2A+）+1=0，∴cos（2A+）=-1．
∵0＜A＜π，∴＜2A+＜，
∴2A+=π，∴A=．
∵b+c=2，∴b²+c²=（b+c）²-2bc=4-2bc
∴a²=b²+c²-2bc•cosA=4-3bc≥4-3（）²=1．
当且仅当b=c=1时，a取得最小值1．
21.解：（1）以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz如图所示：
则A（3，0，0），C1=（0，3，3），D1=（0，0，3），E（3，0，2）
∴=（-3，3，3），=（3，0，-1）
∴cosθ===-
则两条异面直线AC₁与D₁E所成角的余弦值为
（2）B（3，3，0），=（0，-3，2），=（3，0，-1）
设平面BED₁F的一个法向量为=（x，y，z）
由得
令x=1，则=（1，2，3）
则直线AC₁与平面BED₁F所成角的正弦值为
||==
22.解：（1）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，
∴，
∴b=，
∴椭圆C的方程为+=1；
（2）直线y=k（x-1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=，x₁x₂=
∴|MN|=×=
∵A（2，0）到直线y=k（x-1）的距离为d=，
∴△AMN的面积S=|MN|d=
=|MN|d=××=
∵△AMN的面积为，
∴=
∴k=±．

【解析】
1. 解：∵U={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，2，3}，B={3，5，6}，
∴C_UA={0，4，5，6，7，8}，
∴（C_UA）∩B={5，6}，
故选A．
由图象可知U={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，2，3}，B={3，5，6}，根据集合的混合运算法则即可得出答案．
本题考查了集合的混合运算，属于基础题，关键是掌握集合的运算法则．
2. 解：∵随机变量X服从正态分布N(3，)，
∴曲线关于x=3对称
∵P(X＞)=0.1587，
∴P(≤X≤)=1-2×0.1587=0.6826故选C．
3. 解：∵命题：“∃x₀∈R，”是特称命题，
∴特称命题的否定是全称命题得“∃x₀∈R，”的否定是：“∀x∈R，x³-x²+1≤0”．
故选：A．
根据特称命题的否定是全称命题即可得到命题的否定．
本题主要考查含有量词的命题的否定，特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题．
4. 解：由约束条件作出可行域如图，

化目标函数z=2x-y为y=2x-z，由图可知，当直线y=2x-z过A（）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值．
故选：C．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，核对四个选项得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
5. 解：∵q是p的充分不必要条件，
∴q⇒p成立，但p⇒q不成立，
即a+2≤-1，
即a≤-3，
故选：C．
根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义建立不等式关系进行求解即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键．
6. 解：由kx+y-k-1=0，得y=-k（x-1）+1，
∴直线过定点C（1，1），
又A（2，-3），B（-3，-2），
讨论临界点：
当直线l经过B点（-3，-2）时，
k_BC=-k==，
结合图形知-k∈[，+∞）成立，∴k∈（-∞，-]；
当直线l经过A点（2，-3）时，
k_AC=-k==-4，
结合图形知-k∈（-∞，-4]，∴k∈[4，+∞）．
综上k∈（-∞，-]∪[4，+∞）．
故选：C
由kx+y+1-k=0，得y=-k（x-1）+1，斜率为-k，分别求出k_BC，k_AC，由此利用数形结合法能求出k的取值范围．
本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意直线的斜率计算公式和数形结合思想的合理运用．
7. 解：由三视图知该多面体是如图所求的三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
且△ABC中，AB=4，高为4，AC=BC，AA=2，
∴该多面体的体积：
V=S_ABC×AA₁==16．
故选：A．
由三视图知该多面体是如图所求的三棱柱ABC-A₁B₁C₁，且△ABC中，AB=4，高为4，AC=BC，AA=2，由此能求出该多面体的体积．
本题考查多面体的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三视图的性质的合理运用．
8. 解：圆的方程可化为（x-1）²+（y-4）²=4，所以圆心坐标为（1，4），由点到直线的距离公式得：
d==1，解得a=-，
故选A．
由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，利用勾股定理解．
本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，正确运用勾股定理是解题的关键．
9. 解：∵（1-2x）⁵展开式的通项公式为T_r+1=C₅^r•（-2x）^r，
∴（2+x）（1-2x）⁵展开式中，x²项的系数为2C₅²•（-2）²+C₅¹•（-2）=70，
故选：B．
先求得（1-2x）⁵展开式的通项公式，可得（2+x）（1-2x）⁵展开式中，x²项的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．
10. 解：设双曲线的一条渐近线为y=，
把y=代入圆（x-2）²+y²=4，
并整理，得，
，
∴，
解得a²=1，
∴2a=2．
故该双曲线的实轴长为2．
故选B．
设双曲线的一条渐近线为y=，把y=代入圆（x-2）²+y²=4，并整理，得，，进而可得，由此能够求出该双曲线的实轴长．
本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用．
11. 解：∵多项式x³+x¹⁰=[-1+（x+1）]³+[-1+（x+1）]¹⁰=a₀+a₁（x+1）+…+a₉（x+1）⁹+a₁₀（x+1）¹⁰，
∴a₂=-=42，
故选：B
由条件利用x³+x¹⁰=[-1+（x+1）]³+[-1+（x+1）]¹⁰，即可求得a₂的值．
本题主要考查二项式定理的应用，式子的变形是解题的关键，属于基础题．
12. 解：抛物线y²=4x的焦点为F（1，0），
由椭圆x²+ky²=2k（k＞0）化为=1，
∴2k-2=1，
解得k=，
∴a²=3，
∴==．
故选：D．
抛物线y²=4x的焦点为F（1，0），由椭圆x²+ky²=2k（k＞0）化为=1，可得2k-2=1，解出k，即可得出．
本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13. 解：根据频率分布直方图知，在区间[100，104）内的频率为0.02×4=0.08，频数为4，
所以样本容量为=50；
所以在区间 [112，116]内的频率为1-（0.02+0.075+0.1）×4=0.22，
频数为50×0.22=11，即有11株．
故答案为：11．
根据频率分布直方图，利用频率=，即可求出对应的值．
本题考查了频率分布直方图与频率=的应用问题，是基础题目．
14. 解：∵由题意知，
，
∴=0.7
∴要求的线性回归方程是y=0.7x+0.35，
故答案为：y=0.7x+0.35首先做出x，y的平均数，代入的公式，利用最小二乘法做出线性回归直线的方程的系数，写出回归直线的方程，得到结果．
本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，是一个基础题，解题时运算量比较大，注意利用公式求系数时，不要在运算上出错．
15. 解：按照框图的流程得到
经过第一次循环得到的结果为
过第二次循环得到的结果为
经过第三次循环得到的结果为   
经过第四次循环得到的结果为
经过第五次循环得到的结果为此时输出s
故答案为：．
按照框图的流程写出前5次循环的结果，直到满足判断框中的条件为止，执行输出结果即可．
算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
16. 解：分三类：种两种花有A₄²种种法；
种三种花有2A₄³种种法；
种四种花有A₄⁴种种法．
共有A₄²+2A₄³+A₄⁴=84．
故答案为：84．
分为三类：分别种两种花、三种花、四种花，可从4种不同的花先选再排，分这三类来列出结果，求和即可得到．
本题考查排列组合应用题的解法，注意运用分类和分步原理，考查运算能力，属于中档题．本题也可以这样解：按A-B-C-D顺序种花，可分A、C同色与不同色有4×3×（1×3+2×2）=84种．
17.
（Ⅰ）根据公式计算K²，对照数表即可得出概率结论；
（Ⅱ）用分层抽样法求出抽取的男、女生数，由题意知X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列及数学期望EX．
本题考查了独立性检验，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.
（Ⅰ）由已知得该生至少有1门课程取得优秀成绩的对立事件是ξ=0，由此能求出该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率，再由P（ξ=0）=，P（ξ=3）=，p＜q，列出方程组，能求出p，q．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出Eξ．
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．
19.
（1）a₁=S₁=2，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ⁺¹-2）-（2ⁿ-2）=2ⁿ，数列{a_n}的通项公式为：a_n=2ⁿ；
（2）由b_n===-，c_n=a_n+b_n，数列{c_n}的前n项和T_n，T_n=a₁+b₁+a₂+b₂+…+a_n+b_n，采用分组求和及等比数列通项公式和“裂项法”即可求得数列{c_n}的前n项和T_n．
本题考查等比数列通项公式及前n项和公式，考查分组求和，“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．
20.
（1）化简得f（x）=cos（2x+），令2x+=+kπ，解出对称中心，令-π+2kπ≤2x+≤2kπ，解出单调增区间；
（2）由f（A）+1=0解出A，由b+c=2得b²+c²=（b+c）²-2bc=4-2bc，代入余弦定理得a²=4-3bc，即bc取得最大值时，a²取得最小值．
本题考查了三角函数的恒等变换和性质，余弦定理得应用，是中档题．
21.
（1）以以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，则我们易求出已知中，各点的坐标，进而求出向量，的坐标．代入向量夹角公式，结合异面直线夹角公式，即可得到答案．
（2）设出平面BED₁F的一个法向量为，根据法向量与平面内任一向量垂直，数量积为0，构造方程组，求出平面BED₁F的法向量为的坐标，代入线面夹角向量公式，即可求出答案．
本题考查的知识点是用空间向量求直线与平面的夹角，异面直线及其所成的角，直线与平面所成的角，用空间向量求直线间的夹角、距离，其中构造空间直角坐标系，将线线夹角及线面夹角问题，转化为向量夹角问题是解答本题的关键．
22.
（1）根据椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，可建立方程组，从而可求椭圆C的方程；
（2）直线y=k（x-1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0，从而可求|MN|，A（2，0）到直线y=k（x-1）的距离，利用△AMN的面积，可求k的值．
本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是正确求出|MN|．

资*源%库 资*源%库