甘肃省甘谷一中2016-2017学年高二上学期第二次月考数学（理）试卷

甘谷一中2016——2017学年第一学期高二年第二次月考

数学试卷（理科）

（测试时间：120分钟 满分150分）

一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分）

1. 已知命题，其中正确的是 （）
   1. (B)

(C)(D)

2. 抛物线的焦点坐标是 （）

（A）（,0）（B）(－,0)（C）（0,）（D）（0,－）

3. 设，则是 的 （ ）

（A）充分但不必要条件（B）必要但不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

4.在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是（ ）

A．B．

C．D．

5.如图：在平行六面体中，为与的交点。若，，则下列向量中与相等的向量是（）

（A）（B）

（C）（D）

6.已知平行六面体中，AB=4，AD=3，，，，则等于（ ）

A．85B．C．D．50

7.已知△ABC的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A的轨迹方程是 （ ）

（A）（x≠0）（B）（x≠0）

（C）（x≠0）（D）（x≠0）

8. 过抛物线 y²= 4x 的焦点作直线交抛物线于A（x₁, y₁）B（x₂, y₂）两点，如果=6，

那么＝ （ ）

（A）6（B）8 （C）9 （D）10

9.试在抛物线上求一点P，使其到焦点F的距离与到的距离之和最小，则该点

坐标为 （ ）

（A）（B）（C）（D）

10. 已知点F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，过F₁且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF₂为正三角形，则该椭圆的离心率为 （）

（A）（B）（C）（D）

11. 若直线与双曲线的右支交于不同的两点，那么的取值范围是 （ ）

（A）（）（B）（） （C）（） （D）（）

12．平面直角坐标系上有两个定点A、B和动点P，如果直线PA、PB的的斜率之积为定值，则点P的轨迹不可能是（）

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

二、填空题（每小题4分，共5小题，满分20分）

13.已知命题p:,命题q:,且﹁q是﹁p的必要不充分条件，则的取值范围是_____。

14.已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米。当水面升高1米后，水面宽度

是________米。

15. 如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是___________。

16.①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；

②在中，“”是“三个角成等差数列”的充要条件.

③是的充要条件；

④“am²<bm²”是“a<b”的充分必要条件.

以上说法中，判断错误的有___________.

三、解答题（共6小题，满分70分）

17．（本题满分10分）

写出下列命题的否命题：

（1）若，则关于的方程有实数根；

（2）若x，y都是奇数，则x+y是奇数；

（3）若abc=0，则a，b，c中至少有一个为0；

（4）当c>0时，若a>b，则ac>bc．

18.（本题满分12分）

设：方程有两个不等的负根，：方程无实根，

若p或q为真，p且q为假，求的取值范围．

19.（本题满分12分）

已知椭圆C的两焦点分别为，长轴长为6，

⑴求椭圆C的标准方程;

⑵已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点,求线段AB的长度。.

20.（本题满分12分）

在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点。

（1）求证：命题“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；

（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。

21．（本题满分12分）

已知A(，0)、B(－，0)两点，动点P在y轴上的射影为Q，·＝2².

(1)求动点P的轨迹E的方程；

(2)设直线m过点A，斜率为k，当0，试求k的值及此时点C的坐标．

22. （本题满分12分）

如图所示，F₁、F₂分别为椭圆C：的左、右两个焦点，A、B为两个顶点，

已知椭圆C上的点到F₁、F₂两点的距离之$来&源：和为4.

（1）求椭圆C的方程和焦点坐标；

（2）过椭圆C的焦点F₂作AB的平行线交椭圆于P、Q两点，

求△F₁PQ的面积.

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一、选择题：

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二、填空题： 13、14、15、16、③④

三、解答题：

17、解：（1）若，则关于的方程无实数根；

（2）若x，y不都是奇数，则x+y不是奇数；

（3）若abc≠0，则a，b，c中都不为0；

（4）当c>0时，若a≤b，则ac≤bc．……………10分

18、解：若方程有两个不等的负根，则，…………2分

所以，即．………………………………………………………3分

若方程无实资*源%库根，则，…………5分

即，所以．…………………………………………………6分

因为为真，则至少一个为真，又为假，则至少一个为假．

所以一真一假，即“真假”或“假真”．……………………………8分

所以或…………………………………………………10分

所以或．

故实数的取值范围为．…………………………………………12分

19、解：⑴由，长轴长为6

得：所以

∴椭圆方程为 　　 …………………………………………………5分

⑵设,由⑴可知椭圆方程为①,

∵直线AB的方程为② 　　 ……………………………7分

把②代入①得化简并整理得

∴……………………………10分

又……………………………12分

20、证明：（1）解法一：设过点T(3,0)的直线l交抛物线=2x于点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂).

当直线l的钭率不存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于

A(3,)、B(3,－)，∴。 ……………………………3分

当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为y=k(x－3),其中k≠0.

得ky²－2y－6k=0,则y₁y₂=－6. 又∵x₁=y₁²,x₂=y₂²,

∴=x₁x₂+y₁y₂==3.……………………………7分

综上所述, 命题“......”是真命题.……………………………8分

解法二：设直线l的方程为my=x－3与=2x联立得到y²-2my-6=0=x₁x₂+y₁y₂

=(my₁+3) (my₂+3)+y₁y₂=(m²+1)y₁y₂+3m(y₁+y₂)+9=(m²+1)×(-6)+3m×2m+9＝3 ………8分资*源%库

（2）逆命题是：“设直线l交抛物线y²=2x于A、B两点,如果,那么该直线过点T(3,0).”

…………………………………………………10分

该命题是假命题.例如：取抛物线上的点A(2,2),B(,1),此时=3,

直线AB的方程为y=(x+1),而T(3,0)不在直线AB上.………………………………12分

点评：由抛物线y²=2x上的点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)满足,可得y₁y₂=－6。或y₁y₂=2，如果

y₁y₂=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y₁y₂=2, 可证得直线AB过点(－1,0),而不过点(3,0)。资*源%库

21、解：(1)设动点P的坐标为(x，y)，

则点Q(0，y)，＝(－x,0)，＝(－x，－y)，

＝(－－x，－y)，·＝x²－2＋y².

∵·＝2²，∴x²－2＋y²＝2x²，

即动点P的轨迹方程为y²－x²＝2.

(2)设直线m：y＝k(x－)(0<k<1)，

依题意，点C在与直线m平行且与m之间的距离为的直线上，设此直线为m₁：y＝kx＋b.

由＝，即b²＋2kb＝2.①

把y＝kx＋b代入y²－x²＝2，整理，得(k²－1)x²＋2kbx＋(b²－2)＝0，

则Δ＝4k²b²－4(k²－1)(b²－2)＝0，

即b²＋2k²＝2.②

由①②，得k＝，b＝.

此时，由方程组

解得即C(2，)．

22、解：（1）由题设知：2a = 4，即a= 2， 将点代入椭圆方程得，解得b² = 3

∴c²=a²－b² = 4－3 = 1 ，故椭圆方程为，……………………………5分

焦点F₁、F₂的坐标分别为（-1，0）和（1，0）……………………………6分

（2）由（Ⅰ）知，， ∴PQ所在直线方程为，

由得

设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，则，……………………………9分

……………………………12分