福建省厦门市翔安一中2015-2016学年高二下学期期中考试数学（文）试卷

厦门市翔安一中2015～2016学年高二年第二学期期中考试卷

数学科（文科）

考试时间：120分钟 满分150 分

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1.如图所示是《函数的应用》的知识结构图，如果要加入“用二分法求方程的近似解”，则应该放在（*）

A．“函数与方程”的上位B．“函数与方程”的下位

C．“函数模型及其应用”的上位D．“函数模型及其应用”的下位

2．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（*）

① y = sin x（x ∈ R ）是三角函数；② 三角函数是周期函数；

③ y = sin x（x ∈ R ）是周期函数．

A．① ② ③ B．③ ② ① C．② ① ③ D． ② ③ ①

3．某质点按规律（单位：m，单位：s）运动，则该质点在秒的瞬时速度为（*）

A．3m/s B．4m/s C．5 m/s D．6m/s

4．函数的单调递减区间为( * )

A．B．C．D．

5．设，且为正实数，则（*）

A．B．C．1 D． 0

6．条件“”，条件“”，则是的（*）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

7．已知双曲线C：的离心率为，则C的渐近线方程为

A．B．C．D．

8．根据10名儿童的年龄x（岁）和体重y（㎏）的数据，用最小二乘法得到用年龄预报体重的回归方程是y= 2 x + 7 ，已知这10名儿童的年龄分别是 2、3、3、5、2、6、7、3、4、5，则这10名儿童的平均体重是（*）

A． 17 ㎏ B．16 ㎏ C． 15 ㎏ D．14 ㎏

9．下列命题中为真命题的是（*）

A．命题“若，则”的逆命题 B．命题“若，则”的否命题

来源：C．命题“，则”的否命题 D．命题“若，则”的逆否命题

10．执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于（*）

A．[－5,2] B．[－4,3] C．[－3,4] D．[－2,5]

11．如下图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（*）

A．在区间(1，3)内是减函数B．当x=1时,取到极大值

C．在(4,5)内是增函数 D．当x=2时,取到极小值

12. 下列不等式对任意的恒成立的是（*）

A．B.C.D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．命题“”的否定是******．

14．函数在点处的切线方程为******．

15．如图，第1个图形是由正三角形“ 扩展 ” 而来的，第2个图形是由正方形“ 扩展 ” 而来的，第3个图形是由正五边形“ 扩展 ” 而来的，……，第n个图形是由正n + 2 边形“ 扩展 ” 而来的( ) ．则在第n个图形中共有 _ ******_个顶点．(用n表示)

16．若函数在其定义域的一个子区间内有极值，则实数的取值范围是　******　．

来源：三、解答题：本题分6小题，共70分．

17．（本小题满分10分）

为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表：

	常喝	不常喝	合计
肥胖	6	2
不肥胖		18
合计			30

（1）请将上面的列联表补充完整；

（2）是否能在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？请说明你的理由．

参考数据：

	0.05	0.005
	3.841	7.879

（参考公式：）

18．(本小题满分11分)

有一块抛物线形钢板，其下口宽为 2 米，高为 2米（如图所示）．计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是抛物线的下口，上底CD的两端点在抛物线上．

（1）请按图中建立的直角坐标系，求抛物线形钢板所在的抛物线方程；

（2）若记，写出梯形面积以x为自变量的函数关系式，并写出定义域，再求梯形面积的最大值．

19．（本小题满分12分）

先阅读下面的命题及其证明的方法，再解决后面的问题．

已知，，求证：．

证明：构造函数，

即

因为对一切，恒有≥0，所以≤0，从而得．

（1）若已知，，请写出类似上述结论的推广结论；

（2）参考类比上述证明方法，并对你推广的结论加以证明．

20．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）若，求函数的极值；

（2）求函数在区间上的最小值．

21．（本小题满分12分）

已知椭圆的离心率为，椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于两点，是坐标原点，求的面积．

来源：22．（本小题满分13分）

已知函数．

（1）当时，求的单调递增区间；

（2）若在上是增函数，求的取值范围；

（3）是否存在实数，使得方程在区间上有解？若存在，试求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

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翔安一中2015～2016学年高二（下）文科数学期中考参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1~5 BCBAB 6~10 BCCDC 11~12 CB

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．14.15.16.

三、解答题：本题分6小题，共70分．

17．（本小题满分10分）

解：（1）将列联表补充完整为

	常喝	不常喝	合计
肥胖	6	2	8
不胖	4	18	22
合计	10	20	30

……………4分

（2）由已知数据可求得：，

因此能在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．………10分

18．(本小题满分11分)

解：（1）依题意；A（- 1，-2 ），B（1，-2），设抛物线的标准方程为：

∵点B在抛物线上，

∴求得∴抛物线的方程为：……3分

（2）∵ CD = 2 x又点C在抛物线上， 则 C（，）

设梯形的高为h，则

∴……6分

定义域为……7分

∵

∴

由解得单调增区间为,

由解得单调减区间为……9分

在上为增函数，上为减函数，

答：梯形的面积S的最大值为平方米. ……11分

19．（本小题满分12分）

解：（1）若，，则．……4分

（2）证明：构造函数……6分

即f(x)=， ……8分

恒成立，，……10分. ……12分

20．（本小题满分12分）

解：(1) 若，则

当时，，递增；当时，，递减.

在处取得极小值． ……5分

（2）

当x变化时，，的变化情况如下表：

		k-1
	单调递减↘	极小值	单调递增↗

……8分

①若，即，在[0，1]为减函数，……9分

②若，即，在[0，k-1）上递减，在上递增

……11分

③若，即，在[0，1]上为增函数，……12分

21．（本小题满分12分）

解：（1）椭圆的离心率为，椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和为．∴，………………………………2分

∴，，∴………………………………3分

∴椭圆的方程为．……………………………4分

（2）由………………………………5分

设，则，………………………7分

∴

…………………………………10分

∵原点到直线的距离………………………11分

∴的面积为．………………………………12分

22．（本小题满分13分）

解：（1）当时，

，解得或，又

单调增区间为……4分

（2）若在上是增函数，则对任意，恒成立，

……5分

等价于：，恒成立，

等价于：恒成立 ……7分

令，

在上为减函数，

． ……9分

（3）假设时方程在区间有解，

等价转化为：当时，函数在区间上有零点 ……10分

令令解得：，又，

单调增区间为，单调减区间，，

在上为减函数． ……12分

而，．

故在上不存在零点． ……13分