福建省泉港一中2016-2017学年高二上学期期末考理科数学试卷

泉港一中2016-2017学年高二上学期数学（理）期末考试卷

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个答案是正确的.）

1.已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为时，则输入的值为（ ）

A．或． B．C．或D.

2.命题“若，则且”的逆否命题是（ ）

A．若，则且

B．若，则或

C．若且，则

D．若或，则

3.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m,n的比值＝（ ）

A．1 B．C．D．

4.已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）

1. B.

C.D.

5.向量＝（2,4,x）,＝（2,y,2），若||＝6,且⊥，则x＋y的值为（ ）

A．－3 B．1 C．－3或1 D．3或1

6.下列命题中正确的是（ ）

A．若为真命题，则为真命题

B．“”是“”的充分不必要条件

C．命题“若，则”的否命题为：“若，则”

D．已知命题：，，则：，

7.命题方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分不必要条件是（ ）

A．B．C．D．

8.三棱锥中，分别是的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ）

A．B．

C．D．

9.曲线在点处的切线方程是（ $来&源： ）

A．B．C．D．

10.已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线上，且满足，则△的面积为（ ）

A.B.C.D.

11. 已知函数的导函数是且，则实数的值为（ ）

A．B．C．D．

12.设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，则函数的图象可能是（ ）

二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13. 若且为共线向量，则=____

14.在上随机取一个实数，能使函数在上有零点的概率为____

15.已知点是抛物线的焦点，点在抛物线上，，当周长最小时，该三角形的面积为 .

16.我们把离心率的双曲线称为黄金双曲线．如图是双曲线的图象，给出以下几个说法：

①若，则该双曲线是黄金双曲线；

②若为左右焦点，为左右顶点，（0，），

（0，﹣）且，则该双曲线是黄金双曲线；

③若经过右焦点且，，则该双曲线是黄金双曲线．

其中正确命题的序号为.

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分10分）某单位N名员工参加某社区活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图和年龄的频率分布表如下：

（1）求正整数a，N的值；

（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取 6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？

（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．

18. （本小题满分12分）

已知在时有极大值6，在时有极小值.资*源%库

（1）求，，的值；

（2）求在区间上的最大值和最小值.

19. （本小题满分12分）若抛物线的顶点是原点，焦点是双曲线x²﹣y²=1的右顶点。

（1）求抛物线的标准方程；

（2）若直线过点C（2，1）交抛物线于M，N两点，是否存在直线，使得C恰为弦MN的中点？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．

资*源%库

20.（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA=4,点D是AB资*源%库的中点。

（1）求证：AC//平面CDB；

（2）求二面角的余弦值．

21. （本小题满分12分）

已知点，，直线与直线相交于点，直线与直线的斜率分别记为与，且．

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）过定点作直线与曲线交于两点，的面积是否存在最大值？若存在，求面积的最大值.

22. （本小题满分12分）

已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若在区间上的最大值为，求的值；

（3）若时，有不等式恒成立，求实数的取值范围.

泉港一中2016-2017学年高二上学期数学（理）期末考试卷（答案）

1.A2.D3.D 4. A5.C6.B7.B8.D9.C10.C 11. B 12D

13.614.15.16①②③

17.解：（1）a=100．总人数． ……………….(2分)

（2）因为第1，2，3组共有25+25+100=150人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为：

第1组的人数为，第2组的人数为，第3组的人数为，

∴第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人． ……………….(5分)

（3）由（2）可设第1组的1人为A，第2组的1人为B，第3组的4人分别为C₁，C₂，C₃，C₄，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：

（A，B），（A，C₁），（A，C₂），（A，C₃），（A，C₄），（B，C₁），（B，C₂），（B，C₃），（B，C₄），（C₁，C₂），（C₁，C₃），（C₁，C₄），（C₂，C₃），（C₂，C₄），（C₃，C₄），共有15种．

其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：（A，C₁），（A，C₂），（A，C₃），（A，C₄），（B，C₁），（B，C₂），（B，C₃），（B，C₄），共有8种．

所以恰有1人年龄在第3组的概率为．……………….(10分)

18. 解（1），由条件知

解得，，.……………….(6分)

（2），

当变化时，，的变化情况如下表：

由上表知，在区间上，当时，；当时，.….(12分)

19.解：（1）由x²﹣y²=1，可得a²=b²=1，则双曲线的右顶点为（1，0）

即抛物线的焦点坐标为（1，0），则，p=2. ∴抛物线方程为y²=4x；……….(5分)

（2）假设存在直线l，使得C恰为弦MN的中点，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

则，两式作差得：，即．

∴直线l的斜率为2.此时l的方程为y﹣1=2（x﹣2），即为2x﹣y﹣3=0.

联立直线方程与双曲线方程后判别式大于0，

∴满足条件的直线方程为2x﹣y﹣3=0. ……………….(12分)

20解：因为直三棱柱的底面三边长分别为3、4、5所以两两垂直，以C为坐标原点，直线CA,CB,CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系

（1）设,则,故

所以,即

因为平面,平面,所以AC//平面CDB…………….(6分)

（2）可求得平面的一个法向量为，取平面CDB的一个法向量为

，则，由图可知，二面角B-DC-B1的余弦值为…….(12分)

21.（Ⅰ）设，则，

所以所以（未写出范围扣一分）……………….(6分)

（Ⅱ）由已知当直线的斜率存在，设直线的方程是，

联立，消去得，

因为，所以，

设，

当且仅当时取等号，面积的最大值为．……………….(12分)

22.解（1）易知定义域为，，令，得.

当时，；当时，.

∴在上是增函数，在上是减函数.……………….(3分)

(2）∵，，，

①若，则，从而在上是增函数，∴，不合题意.

②若，则由，即，若，在上是增函数，由①知不合题意.

由，即.从而在上是增函数，在为减函数，∴，所以，∵，∴所求的.…….(8分)

(3)∵时，恒成立，∴，令，∴恒大于，∴在为增函数，∴，∴.……….(12分)