福建省泉港一中2016-2017学年高二年下学期期中考数学（理）试卷

泉港一中2016-2017学年下学期期中考

高二理科数学

一、选择题（每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．在复平面内，复数对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．在的展开式中，各项系数之和为,各项二项式系数之和为,且,则展开式中常数项的值为 （ ）

A、6 B、9 C、12 D、18

3．我们知道，“心有灵犀”一般是对人的心理活动非常融洽的一种描述，它也可以用数学来定义：甲、乙两人都在中选一个数，甲选的数记为，乙选的数记为，若，则称甲乙两人“心有灵犀”，由此可得甲乙两人“心有灵犀”的概率是（ ）

1. B.C.D.

4．收集一只棉铃虫的产卵数y与温度x的几组数据后发现两个变量有相关关系，并按不同的曲线来拟合y与x之间的关系，算出了对应的相关指数R²的值如下表：

拟合曲线	直 线	指数曲线	抛物线	二次曲线
回归方程
相关指数R2	0.746	0.996	0.902	0.002

则这组数据的回归方程的最佳选择应是

1. B.C.D.

5．已知随机变量ξ服从正态分布．若，则（ ）

A．0.4B．0.3C．0.2 D．0.1

6．（其中n∈N且n≥6）的展开式中与的系数相等，则n=（　　）

A．7 B．8 C．9 D．11

X	1	2	3	4
P		m

7．设随机变量的概率分布列如右表，则（ ）

A.B.C.D.

8．考察正方体个面的中心，甲从这个点中任意选两个点连成直线，乙也从这个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ）

1. B. C. D.

9．反证法证明三角形的内角中至少有一个不小于60°，反设正确的是（ ）

A.假设三内角都不大于60° B.假设三内角都小于60°

C.假设三内角至多有一个大于60° D.假设三内角至多有两个小于60°

10．某单位拟安排6位员工在今年5月28日至30日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天 . 若6位员工中的甲不值28日，乙不值30日，则不同的安排方法共有( )

A.30种 B.36种 C.42种 D.48种

11．将数字“123367”重新排列后得到不同的偶数个数为（ ）

A．72 B．120 C．192 D．240

12．在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击（各发射一枚导弹），由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为0．9，0．9，0．8，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为（ ）

A．0．998 B．0．046 C．0．002 D．0．954

二、填空题（每小题5分，共20分。答案请写在答题卡上）

13．复数（为虚数单位）为纯虚数,则复数的模为.

14．在的展开式中含项的系数是______（用数字作答）．

15．如图所示，在边长为1的正方形内任取一点，用表示事件“点恰好取自由曲线与直线及轴所围成的曲边梯形内”，表示事件“点恰好取自阴影部分内”，则=_____

16．有6名选手参加学校唱歌比赛，学生甲猜测：4号或5号选手得第一名；学生乙猜测：3号选手不可能得第一名；学生丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；学生丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名。

比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁四人中只有1人猜对，则获得第一名的选手号数是______．

三、解答题（6大题，共70分。解答时应按要求写出证明过程或演算步骤）

17．（本题10分）.已知盒子中有4个红球，2个白球，从中一次抓三个球，

（1）求没有抓到白球的概率；

（2）记抓到球中的红球数为，求的分布列和数学期望.

18．（本题12分）如图，四棱锥的底面是正方形，

侧棱⊥底面，，是的中点．

(1)证明：∥平面；

(2)求二面角的余弦值．

19．（本题12分）某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表：

（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；

（2）从该单位中任取2人，其中年薪收入高于7万的人数记为，求的分布列和期望；

（3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为4万元，5.5万元，6万元，8.5万元，预测该员工第五年的年薪为多少？

附：线性回归方程中系数计算公式分别为：

，，其中为样本均值.

20．（本题12分）2016世界特色魅力城市强新鲜出炉，包括泉州市在内的个中国城市入选。美丽的泉州风景和人文景观迎来众多宾客。现在很多人喜欢自助游，某调查机构为了了解“自助游”是否与性别有关，在泉州旅游节期间，随机抽取了人，得如下所示的列联表：

	赞成“自助游”	不赞成“自助游”	合计
男性
女性
合计

（1）若在这人中，按性别分层抽取一个容量为的样本，女性应抽人，请将上面的列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料能否在犯错误的概率不超过前提下，认为赞成“自助游”是与性别有关系？

（2）若以抽取样本的频率为概率，从旅游节游客中随机抽取人赠送精美纪念品，记这人中赞成“自助游”人数为，求的分布列和数学期望.

附:

21．（本题12分）已知函数

（Ⅰ）若求在处的切线方程；

（Ⅱ）求在区间上的最小值；

（Ⅲ）若在区间上恰有两个零点，求的取值范围．

22．（本题12分）巳知椭圆的长轴长为，且与椭圆有相同的离心率.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与有两个交点、，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由.

2016-2017学年下学期期中考

高二理科数学 参考答案

一、选择题（共12题，共60分）

二、填空题（共4题，共20分）

13．14．-10 15．16．3

三、解答题（共6题，共70分）

17．【解析】

（1）没有抓到白球，即取到的全是红球，∴没有抓到白球的概率是；…3分

（2）X的所有可能取值为1，2，3………………………………………………………4分

=，，………7分

∴X的分布列为………………………………………………………8分

X	1	2	3
P

。………………………………………………………10分

18．【解析】(1)连接AC交BD于点O，连接OE；

在△CPA中，E，O分别是边CP，CA的中点，∴OE∥PA，

而OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE. ……………………4分

(2)如图建立空间直角坐标系，设PD＝DC＝2.

则A(2,0,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，B(2,2,0),

∴＝(0,1,1)，＝(2,2,0)，……………………5分

设n＝(x，y，z)是平面BDE的一个法向量，

则由得取y＝－1，得n＝(1，－1,1)，

又＝(2,0,0)是平面DEC的一个法向量．……………………9分

∴cos〈n，〉＝＝.……………………11分

故结合图形知二面角B-DE-C的余弦值为……………………12分

19．【解析】（1）平均值为11万元，中位数为7万元. ……………………2分

（2）年薪高于7万的有5人，低于或等于7万的有5人；取值为0，1，2.

，，，………6分

∴的分布列为

	1	1	2
P

数学期望为.……………………8分

（3）设分别表示工作年限及相应年薪，则，

，

得线性回归方程：.………………………………11分

可预测该员工第5年的年薪收入为9.5万元. …………………12分

20．【解析】(1)

	赞成“自助游”	不赞成“自助游”	合计
男性
女性
合计

将列联表中的数据代入计算，得的观测值：

，

在犯错误概率不超过前提下，不能认为赞成“自助游”与性别有关系.………6分

(2)的所有可能取值为0,1,2,3,

依题意，

∴的分布列为：

.………………………………………………………………………12分

21．（Ⅰ）当

在处的切线方程为，即……………4分

（Ⅱ）由

由及定义域为，令

①若在上，，在上单调递增，

因此，在区间的最小值为．

②若在上，，单调递减;在上，，单调递增，因此在区间上的最小值为

③若在上，，在上单调递减，

因此，在区间上的最小值为．

综上，………………………………………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当或时，在上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点．

当时，要使在区间上恰有两个零点，则

∴即，此时，．所以，的取值范围为…12分

22．【解析】

(I )椭圆的长轴长为，故，

又与椭圆有相同的离心率,故

所以椭圆M的方程为………………………………………………4分

(II)若的斜率存在，设因与C相切，

故， 即. ①……………………………………5分

又将直线方程代入椭圆M的方程得…………6分

设由韦达定理得+=，

由得到+++=0

化简得，② ……………………………………………………8分

联立①②得。 综上所述，存在圆.…………………9分

由得

=

当时，,；………………………………11分

又当k不存在时，,故为所求. …………………12分

2016-2017学年下学期期中考

高二理科数学 参考答案

一、选择题（共12题，共60分）

二、填空题（共4题，共20分）

13． 14．-10 15．16．3

三、解答题（共6题，共70分）

17．【解析】

（1）没有抓到白球，即取到的全是红球，∴没有抓到白球的概率是；…3分

（2）X的所有可能取值为1，2，3………………………………………………………4分

=，，………7分

∴X的分布列为………………………………………………………8分

X	1	2	3
P

。………………………………………………………10分

18．【解析】(1)连接AC交BD于点O，连接OE；

在△CPA中，E，O分别是边CP，CA的中点，∴OE∥PA，

而OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE. ……………………4分

(2)如图建立空间直角坐标系，设PD＝DC＝2.

则A(2,0,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，B(2,2,0),

∴＝(0,1,1)，＝(2,2,0)，……………………5分

设n＝(x，y，z)是平面BDE的一个法向量，

则由得取y＝－1，得n＝(1，－1,1)，

又＝(2,0,0)是平面DEC的一个法向量．……………………9分

∴cos〈n，〉＝＝.……………………11分

故结合图形知二面角B-DE-C的余弦值为……………………12分

19．【解析】（1）平均值为11万元，中位数为7万元. ……………………2分

（2）年薪高于7万的有5人，低于或等于7万的有5人；取值为0，1，2.

，，，………6分

∴的分布列为

	1	1	2
P

数学期望为.……………………8分

（3）设分别表示工作年限及相应年薪，则，

，

得线性回归方程：.………………………………11分

可预测该员工第5年的年薪收入为9.5万元. …………………12分

20．【解析】 (1)

	赞成“自助游”	不赞成“自助游”	合计
男性
女性
合计

将列联表中的数据代入计算，得的观测值：

，

在犯错误概率不超过前提下，不能认为赞成“自助游”与性别有关系.………6分

(2)的所有可能取值为0,1,2,3,

依题意，

∴的分布列为：

. ………………………………………………………………………12分

21．（Ⅰ）当

在处的切线方程为，即……………4分

（Ⅱ）由

由及定义域为，令

①若在上，，在上单调递增，

因此，在区间的最小值为．

②若在上，，单调递减;在上，，单调递增，因此在区间上的最小值为

③若在上，，在上单调递减，

因此，在区间上的最小值为．

综上，………………………………………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当或时，在上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点．

当时，要使在区间上恰有两个零点，则

∴即，此时，．所以，的取值范围为…12分

22．【解析】

(I )椭圆的长轴长为，故，

又与椭圆有相同的离心率,故

所以椭圆M的方程为………………………………………………4分

(II)若的斜率存在，设因与C相切，

故， 即. ①……………………………………5分

又将直线方程代入椭圆M的方程得…………6分

设由韦达定理得+=，

由得到+++=0

化简得，② ……………………………………………………8分

联立①②得。 综上所述，存在圆.…………………9分

由得

=

当时，,；………………………………11分

又当k不存在时，,故为所求. …………………12分