辽宁省实验中学等五校2014-2015学年高二下学期期末考试数学（理）试卷

2014——2015学年度下学期期末考试高二理科数学试卷

命题学校：东北育才学校

第Ⅰ卷(选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.若为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平

面内点Z表示复数z，则复数对应的点位于复平面内的

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.已知三个正态分布的概率密度函数

（，）的图象如图所示，则

A.，

B.，

C.，

D.,(第2题图）

3.用数学归纳法证明“,对于的正整数均成立”时，

第一步证明中的起始值的最小值为

A.1 B.3 C.5 D.7

4.若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为奇数,则不同的取法共有　

A.60种 B.63种 C.65种 D.66种

1. 已知函数，为的导函数，则
   
   A．8 B．2014 C．2015 D.0
   6.两位工人加工同一种零件共100个,甲加工了40个,其中35个是合格品,乙加工了60
   个,其中有50个合格,令A事件为“从100个产品中任意取一个,取出的是合格品”,B
   事件为“从100个产品中任意取一个,取到甲生产的产品”,则等于
   1. B.C.D.

7.若，且

，则实数

A.B.C.D.或

8.下列有关线性回归分析的四个命题中

①线性回归直线未必过样本数据的中心点；

②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；

③当相关性系数时，则两个变量正相关；

④如果两个变量的相关性越强，则相关性系数就越接近于1.

其中真命题的个数为

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

9.已知盒子中有4个红球，个白球，若从中一次取出4个球，其中白球的个数为，

且则的值

A．3 B. 4 C.5 D.6

1. 已知函数是偶函数，且当时，其导函数满足

，若，则　　　

A．B.

C.D.

11．如图所示，由直线及轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即.

类比之，,

恒成立,则实数等于

1. B.C.D.

12．已知函数有且只有一个零点，则的值为

A．B．C．D．

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.

13.已知为实数，复数为纯虚数，则.

14.对于实数，表示不超过的最大整数，观察下列等式：

……

按照此规律第个等式的等号右边的结果为 .

15.若6个人排成一排，三人互不相邻，两人也不相邻的排法共有 种.

16.若实数满足，则

的最小值为 .

三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

“开门大吉”是中央电视台推出的娱乐节目.选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金.在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示.

(Ⅰ) 完成下列2×2列联表；

正误 年龄	正确	错误	合计
20~30
30~40
合计

(Ⅱ)判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关；说明你的理由.（下面的临界值表供参考）

	0.10	0.05	0.010	0.005
	2.706	3.841	6.635	7.879

（参考公式：，）

18．（本小题满分12分）

若等差数列的首项为，公差是展开式中的常数项，其中为除以19的余数，求通项公式.

19．(本题满分12分)

在中，角所对的边分别为，已知=，．

（Ⅰ）求和的面积；

（Ⅱ）当是钝角时，证明：不可能是有理数．

20．(本题满分12分)

甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用表示甲队总得分．

(Ⅰ)求随机变量的分布列及其数学期望；

(Ⅱ)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．

1. (本题满分12分)

已知函数.

（Ⅰ）若，求函数的极值；

（Ⅱ）若在有唯一的零点，求的取值范围；

（Ⅲ）若，设，求证：在内有唯一的零点，且对（Ⅱ）中的，满足．

请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（本小题满分10分）选修4-1：平面几何证明选讲

如图，在中，，以为直径的⊙交

于，过点作⊙的切线交于，交⊙于点．

（Ⅰ）证明：是的中点；

（Ⅱ）证明：.

23．(本小题满分10分)选修4-4：极坐标系与参数方程

在极坐标系中曲线的极坐标方程为，点. 以极点为原点，以极轴为轴正半轴建立直角坐标系．斜率为的直线过点，且与曲线交于两点.

（Ⅰ）求出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；

（Ⅱ）求点到两点的距离之积.

24．（本大题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数

（Ⅰ）解不等式；

（Ⅱ）当，时，证明：.

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2014——2015学年度下学期期末考试高二理科数学答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.D 2.B 3.C 4.A 5.A 6.D 7.D 8.A 9.A 10.B 11.B 12.B

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.

13.1 14. 15. 120 16.

三．解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

年龄/正误	正确	错误	合计
20~30	10	30	40
30~40	10	70	80
合计	20	100	120

17．解：（Ⅰ）

………6分

（Ⅱ）

有的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关。 ……… 12分

18．解：由题意，，又，∴=2，∴

………4分

又=

=

∴除以19的余数为5，即=5 ………8分

又，令，

∴，∴………12分

19．解：（Ⅰ）由正弦定理得，即………2分

因为是三角形内角且，则或. ………4分

记的面积为.

当时，，………5分

当时，，………6分

（Ⅱ）证明：因为是钝角，结合（Ⅰ）的结论得=

假设是有理数， ………8分

则为有理数；

同理可证为有理数． ………10分

，等式左边=为无理数，等式右边为有理数，从而矛盾，则不可能是有理数，即不可能是有理数．………12分

20．（Ⅰ）解：的可能取值为0，1，2，3 ………1分

;;

;

………5分

的分布列为

	0	1	2	3

………6分

………8分

（Ⅱ）设 “甲队和乙队得分之和为4”为事件A,“甲队比乙队得分高”为事件B

则

………12分

1. 解：（Ⅰ）当时，，，

．

由，令，得．

当变化时，，的变化如下表：

		0
		极小值

故函数在单调递减，在单调递增，

有极小值，无极大值． ………3分

（Ⅱ）解法一：，

令，得，设．

则在有唯一的零点等价于在有唯一的零点

当时，方程的解为，满足题意；

当时，由函数图象的对称轴，函数在上单调递增，

且，，所以满足题意；

当，时，，此时方程的解为，不符合题意；

当，时，由，

只需，得．

综上，． ………7分

（说明：未讨论扣1分）

解法二：

（Ⅱ），

令，由，得．

设，则，，

问题转化为直线与函数的图象在恰有一个交点问题．

又当时，单调递增，

故直线与函数的图象恰有一个交点，当且仅当． ……7分

（Ⅲ）设，则，，

，

由，故由（Ⅱ）可知，

方程在内有唯一的解，

且当时，，单调递减；时，，单调递增．

又，所以

取，

则

，

从而当时，必存在唯一的零点，且，

即，得，且，

从而函数在内有唯一的零点，满足……12分

（说明：第（Ⅲ）问判断零点存在时，利用时，进行证明，扣1分）

22．解：（Ⅰ）证明：连接，因为为⊙O的直径，所以，又，所以CB切⊙O于点B，且ED切于⊙O于点E，因此，……2分

，，所以，

得，因此，即是的中点 ……5分

（Ⅱ）证明：连接BF，可知BF是△ABE斜边上的高，可得△ABE∽△AFB

于是有，即， ……8分

同理可证

所以……10分

23．（Ⅰ），，由得．

所以即为曲线C的直角坐标方程； ……2分

点M的直角坐标为，

直线l的倾斜角为，故直线l的参数方程为

（t为参数）即（t为参数） ……5分

（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程得

，即，

， ……7分

设A、B对应的参数分别为，则

又直线l经过点M，故由t的几何意义得

点M到A，B两点的距离之积……10分

24解：（Ⅰ）由已知可得：

所以，的解集为. …………………5分

(II)由（Ⅰ）知，；

. ……………………10分

说明：各题中出现的不同解法，请参照此标准相应给分。