重庆市杨家坪中学2015-2016学年高二下学期第一次月考数学（理）试卷

2015—2016学年杨家坪中学高二下第一次月考数学理试卷

1．是虚数单位，复数（ ）

A．B．C．D．

【答案】B

试题分析：

2．已知积分，则实数（ ）

A．2 B． C．1 D．

【答案】A

试题分析：

3．已知,则 ( )

A.f(n)中共有n项，当n=2时，f(2)＝

B.f(n)中共有n+1项，当n=2时，f(2)＝

C.f(n)中共有n²-n项，当n=2时，f(2)＝

D.f(n)中共有n²-n+1项，当n=2时，f(2)＝

【答案】D

4．一质点做直线运动,由始点起经过ts后的位移为,则速度为零的时刻是（ ）

A.4s末 B.8s末 C.0s与8s末 D.0s,4s,8s末

【答案】D

5.设函数，则 （ ）

A．B．C．D．

【答案】D

试题分析：,所以

6.函数的图象大致为（ ）

【答案】D

试题分析：函数的定义域为．求导，令可得，结合定义域可知令可得，即函数在上单调递减，在上单调递增，由图可知选D．

7.已知函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】B

试题分析：由函数在定义域内是增函数，求导得，则在上恒成立，即在上恒成立，则在上恒成立，设，则，由二次函数当时有最小值，则

8．方程x³﹣6x²+9x﹣4=0的实根的个数为（　　）

A．0 B．1 C．2D．3

【答案】C

试题分析：令，则，

令得或。解得，或；解得，。所以函数在和上单调递增，在上单调递减。所以当时，函数取得极大值为。当时，函数取得极小值为。由数形结合可知的实根个数为2。故C正确。

9.若函数，则f’(-1)=（　　）

A．0　B．C．3（）　D．3（）

【答案】C

10．已知是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，若，则必有（ ）

A．B．C．D．

【答案】A

试题分析：.所以函数是减函数或常函数，当是减函数时，由可得，当函数时

11．在上的可导函数，当取得极大值，当取得极小值，则的取值范围是（）．

A．B．C．D．

【答案】A

12．对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）

A．B．C．D．

【答案】B

试题分析：，设

由得，当时，当时，

13. 复数(m²– 3m) + mi是纯虚数，则实数m的值是

【答案】3

14.已知函数的导函数为,且满足,则=．

【答案】16

15．观察下列式子：，，，…，

根据上述规律，第个不等式应该为．

【答案】

16．已知直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是．

【答案】

试题分析：令，则，令，则，当即时；当即时，。所以函数在上单调递增，在上单调递减。所以时取得最大值为，所以即。

三、解答题

17.已知．

（1）若曲线在处的切线与直线平行，求a的值；

（2）若时，求的单调区间．

解：(1) 由题意得

∴∴

(2) ∵，∴

∴，令，得

令，得

∴单调递增区间为，

单调递减区间为

18.已知，求证：

证明：略

19.某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为，且知当利率为0.012时，存款量为1.44亿；又贷款的利率为时，银行吸收的存款能全部放贷出去；若设存款的利率为，，则当为多少时，银行可获得最大收益？

解：由题意，设存款量，又当利率为0.012时，存款量为1.44亿，即时，；由，得，那么，

又设银行应支付的利息，

设银行可获收益为，则，

由于，，则，即，得或．

因为，时，，此时，函数递增；

时，，此时，函数递减；

故当时，有最大值，其值约为0.164亿．

20.已知函数．

（1）当时，判断方程在区间上有无实根；

（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

解：（1）时，令，．

∴在上为增函数．

又，所以在上无实根．

（2）恒成立，即恒成立，

又，则当时，恒成立，

令，只需小于的最小值，，

来源：∵，∴．∴当时，∴在上单调递减，∴在的最小值为．则的取值范围是．

21. 已知f(x)＝，g(x)＝，

（1）当ａ＝１时，求的单调区间；

（2）求g(x)在点（０,１）处的切线与直线x=1及曲线g(x)所围成的封闭图形的面积；

（3）是否存在实数ａ,使的极大值为3？若存在，求出ａ的值,若不存在,请说明理由．

解：（1）当a=1时，　

令，则　在(0,1)上，在

（2），切线l：y-1＝-x，

即y＝-x+1

（3）＝　　

由　得x=0或2-a　

1. 当a<2时，有2-a0

在

_极大＝　即4-a＝3

令h(x)＝3，则，，无解不满足题意

②当a=2时　，，在无极值

　综上：ａ的值不存在．

22．已知函数。

（1）若，且函数存在单调递减区间，求的取值范围。

（2）设函数的图象与函数的图象交于点，过线段的中点作轴的垂线分别交、于点。证明：在点处的切线与在点处的切线不平行。

解：（1）时，函数，且

∵函数存在单调递减区间，∴有解。 ┅┅┅┅（2分）

又∵，∴有的解。

1. 当时，为开口向上的抛物线，总有的解;┅┅┅┅┅┅┅┅（4分）
2. 当时，为开口向下的抛物线，而有的解，则

，且方程至少有一正根，此时，

综上所述，的取值范围为。┅┅┅┅┅┅┅（7分）

（2）设点，且，则

点的横坐标为，

在点处的切线斜率为；

在点处的切线斜率为。（9分）

假设在点处的切线与在点处的切线平行，则，即

则

所以┅┅┅┅┅┅（11分）

设，则，①

令，则

当时，，所以在上单调递增。

故，从而这与①矛盾，假设不成立，

∴在点处的切线与在点处的切线不平行。 ┅┅┅（14分）