重庆市杨家坪中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学（理）试卷

高2018级期中数学（理科）试题

第Ⅰ卷：选择题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）

1．已知倾斜角为θ的直线，与直线x﹣3y+1=0垂直，则tanθ=（　　）

A．B．3C．﹣3D．

2．已知双曲线的两个焦点为，为双曲线的右支上一点，且满足，则双曲线的方程为( )

A．B．C．D．

3．“a+b=2”是“直线x+y=0与圆（x﹣a）²+（y﹣b）²=2相切”的（　　）

A．充分不必要条件B.必要不充分条件.

C充要条件D.既不充分也不必要条件

4．圆与直线的位置关系是（　　）

A．相切 B．相交 C．相离D．不确定

5. 已知F是椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，若|PF|=|AF|，则该椭圆的离心率是（　　）

A．B．C．D．

6．已知命题：“”，命题：“”，若命题“”是真命题，则实数a的取值范围是（　　）

A．B．C．D．

7．某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形O₁A₁B₁C₁如图（2），其中O₁A₁=6，O₁C₁=2，则该几何体的侧面积为（　　）

A．48B．64C．96D．128

8．以原点O引圆（x﹣m）²+（y﹣2）²=m²+1的切线y=kx，当m变化时切点P的轨迹方程是（　　）

A．x²+y²=3B．（x﹣1）²+y²=3

C．（x﹣1）²+（y﹣1）²=3D．x²+y²=2

9. 直线l交椭圆4x²+5y²=80于M、N两点，椭圆的上顶点为B点，若△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是（　　）

A．5x+6y﹣28=0B．5x﹣6y﹣28=0

C．6x+5y﹣28=0D．6x﹣5y﹣28=0

10.已知函数f（x）=（ex+1）（ax+2a﹣2），若x∈（0，+∞），使得不等式成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．（0，1）B．（0，）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，）

11. 双曲线x²﹣y²=2016的左、右顶点分别为A₁、A₂，P为其右支上一点，且P不在x轴上，若∠A₁PA₂=4∠PA₁A₂，则∠PA₁A₂等于（　　）

A．B．C．D．无法确定

12．已知F₁，F₂是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F₁PF₂=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（　　）

A．B．C．3D．2

第Ⅱ卷：非选择题

二、填空题（本大题4个小题，每小题5分，共20分.）

13．两条平行直线和的距离为 ．

14．一个球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为36π，那么该三棱柱的体积是 .

15．如图所示，某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为 .

16．如图所示，过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F作直线交C于A、B两点，过A、B分别向C的准线l作垂线，垂足为A′，B′，已知四边形AA′B′F与BB′A′F的面积分别为15和7，则△A′B′F的面积为 　．

三、解答题（本大题6个小题，共70分．）

17.（10分）在直角坐标系中，以坐标原点为圆心的圆与直线相切．

(Ⅰ)求圆的方程；

(Ⅱ)若圆上有两点关于直线对称，且||＝，求直线的方程．

18．（12分)（Ⅰ）命题“”为假命题，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若“x²+2x﹣8＜0”是“x﹣m＞0”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

19. （12分）已知双曲线C：的离心率是,其一条准线方程为x=．

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）设双曲线C的左右焦点分别为A，B，点D为该双曲线右支上一点，直线AD与其左支交于点E，，若, 求实数λ的取值范围．

$来&源：20．（12分）如图，曲线（）与曲线

只有三个 公共点，其中为坐标原点，且.

(Ⅰ)求曲线的方程；

(Ⅱ)过定点的直线与曲线交于两点,若点是线段的中点，

求线段的长.

21．(12分）己知A、B、C是椭圆C：(a>b>0)上的三点，其中点A的坐标为，BC过椭圆的中心，且，．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点 (0, t)的直线l(斜率存在时)与椭圆C交于P，Q两点，

设D为椭圆C与y轴负半轴的交点，且，

求实数t的取值范围．

资*源%库

22. (12分)已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，且F₁，F₂与短轴的一个顶点Q构成一个等腰直角三角形，点P（，）在椭圆C上．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）过F₂作互相垂直的两直线AB，CD分别交椭圆于点A，B，C，D，且M，N分别是弦AB，CD的中点，求△MNF₂面积的最大值．

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高二数学（理科）参考答案

一、选择题：1-5：CAABB 6-10：BCADD 11-12：AA

二、填空题：13．14．16215．16．6

三、解答题：

17.解：(Ⅰ)依题意，设圆的方程为：

∵圆与直线：相切．∴圆的半径等于原点到直线的距离，即，∴圆的方程为：

(Ⅱ)由题意，设直线的方程为

则圆心到直线的距离，∴，即，

∴直线的方程.

18．（Ⅰ）：∃x₀∈R，x₀²﹣3ax₀+9＜0为假命题，等价于∀x∈R，x²﹣3ax+9≥0为真命题，∴△=9a²﹣4×9≤0⇒﹣2≤a≤2，∴实数a的取值范围是﹣2≤a≤2；

（Ⅱ）由x²+2x﹣8＜0⇒﹣4＜x＜2，另由x﹣m＞0，即x＞m，

∵“x²+2x﹣8＜0”是“x﹣m＞0”的充分不必要条件，

∴m≤﹣4．故m的取值范围是m≤﹣4．

19.解：(Ⅰ)由题意设，∵，，即即,

∵在上，∴

解得：∴曲线的方程为.

(Ⅱ) 由题意知直线的斜率存在，设，直线的方程为：， ∴，两式相减得，即，∵，∴，∴直线的方程为：

由得，∴

∴

20． （1),,

由（I）知A（﹣2，0），设D（x₀，y₀），E（x₁，y₁）,

,,,,∵E在双曲线上

,,,∵D在双曲线

,,代入上式可得，,,,

,

∵D在双曲线的左支，点D在右支,∴

21.解（Ⅰ）∵且过，则．

∵，∴，即．

又∵，设椭圆的方程为，代入C点坐标得．

∴椭圆的方程为．

（Ⅱ）由条件D(0，-2)，设直线的斜率为，

当k=0时，显然；

当时，设：，由，消得

由可得，①

资*源%库 设，，中点，则，, ∴．

由，∴，即. ∴，

$来&源：化简得…② ∴，联立①②得，∴的范围是

.综上．

22解：（Ⅰ）∵椭圆+=1（a＞b＞0）经过点P（，），

且F₁，F₂与短轴的一个顶点Q构成一个等腰直角三角形，

∴，解得a²=2，b²=1，

∴椭圆方程为；

（Ⅱ）设直线AB的方程为x=my+1，m≠0，

则直线CD的方程为x=﹣y+1，

联立，消去x得（m²+2）y²+2my﹣1=0，

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=﹣，y₁y₂=，

∴x₁+x₂=（my₁+1）+（my₂+1）

=m（y₁+y₂）+2=，

由中点坐标公式得M（），

将M的坐标中的m用﹣代换，得CD的中点N（），

资*源%库 k_MN=，

直线MN的方程为y+=（x﹣），

即为y=，

令，可得x=，即有y=0，

则直线MN过定点H，且为H（，0），

∴△F₂MN面积为S=|F₂H|•|y_M﹣y_N|

=（1﹣）•||=||=||，

令m+=t（t≥2），由于2t+在[2，+∞）递增，

即有S==在[2，+∞）递减，

∴当t=2，即m=1时，S取得最大值，为；

则△MNF₂面积的最大值为．