陕西省府谷县麻镇中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学（理）试卷

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北师大版高二数学选修2—2模块考试试题

考试范围：选修2—2全部内容；考试时间：120分钟；

第I卷（选择题 共50分）

1．下面几种推理中是演绎推理的为

A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；

B．猜想数列的通项公式为；

C．半径为圆的面积，则单位圆的面积；

D．由平面直角坐标系中圆的方程为，推测空间直角坐标系中球的方程为．

2.观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有________个小正方形，第n个图中有________个小正方形(　　)

A．28，B.14，

C．28，D.12，

3. 在数列11,111,1 111，…中(　　)

A．有完全平方数B.没有完全平方数

C．有偶数D.没有3的倍数

4. 一个物体的位移(米)和与时间(秒)的关系为，则该物体在4秒末的瞬时速度是

A．8米/秒 B．8米/秒 C．6米/秒 D．12米/秒

5. 函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，

则函数在内有极小值点

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6. 已知,若,则

A．5 B．4 C．D．

7. 若复数的实部与虚部互为相反数，则

A、B、C、D、2

8.的值为

A．0 B． C．2 D．4

9.由曲线，围成的封闭图形面积为为

A．B．C．D．

10. 给出下列四个命题：（1）若，则；（2）虚部是；（3）若；(4）若，且，则为实数；其中正确命题的个数为

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

第II卷（非选择题 共100分）

11.若复数()是纯虚数，则= .

12. 若函数，则=______.

13.在△ABC中，D是BC的中点，则＝(＋)，将命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：______________________________________________________________________________________________.

14.已知函数f(x)＝x³－ax²＋3ax＋1在区间(－∞，＋∞)内既有极大值，又有极小值，则实数a的取值范围是________________．

15.如图为函数f(x)的图像，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式x·f′(x)<0的解集为________．

16. 求由抛物线，直线所围成的图形的面积.

17. 已知函数f(x)＝x³－3ax²－bx，其中a，b为实数．若f(x)在x＝1处取得的极值为2，求a，b的值.

18. 已知m∈R，复数z＝＋(m²＋2m－3)i，当m为何值时，z是纯虚数.

19. 设a>0且a≠1，函数f(x)＝x²－(a＋1)x＋alnx.当a＝2时，求曲线y＝f(x)在(3，f(3))处切线的斜率.

20. 已知数列的前项和满足：，且

（1）求

（2）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明.

21.甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付的情况下，乙方的年利润（元）与年产量（吨）满足函数关系．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方元（以下称为赔付价格）．

（1）将乙方的年利润（元）表示为年产量（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；

（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产

的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格是多少？

参考答案

一、选择题

二、填空题

11. ; 12. 4 ; 13. 在四面体A－BCD中，G为△BCD的重心，则 ＝(＋＋) ; 14. (－∞，0)∪(9，＋∞) 15. (－3，－1)∪(0,1)

三、解答题

16. 解 由，得抛物线与轴的交点坐标是和，所求图形分成两块，

分别用定积分表示面积

，.

故面积=

==.

17.解：由题设可知：f′(1)＝0且f(1)＝2，

即解得

18.解：当z为纯虚数时，则有解得m＝0或m＝2.

∴当m＝0或2时，z为纯虚数.

19.解：由已知得x>0.

当a＝2时，f′(x)＝x－3＋，f′(3)＝，

所以曲线y＝f(x)在(3，f(3))处切线的斜率为.

20. 解：（1），所以，，又 ∵，所以.

， 所以 ,

所以.

（2）猜想．

证明：当时，由（1）知成立．

假设时，成立

．

所以

所以当时猜想也成立．

综上可知，猜想对一切都成立．

21. 解：（1）因为赔付价值为元/吨，所以乙方的实际年利润为：

.

因为

所以当取得最大值．

所以乙方取得最大年利润的年产量吨.

（2）设甲方净收入为元，则.

将代入上式，得到甲方净收入与赔付价格之间的函数关系式：

．

又．

令，得.

当时，；当时，．

所以时，取得最大值．

因此甲方向乙方要求赔付价格（元/吨）时，获最大净收入．