黑龙江省伊春市带岭高中2015-2016学年高二下学期第二次月考数学试卷

高二年级月考试题（数学卷）

(时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设集合A＝{x|x²－3x＋2<0}，B＝{x|2<2^x<8}，则A∩B＝(　　)
A．{x|1<x<2}B．{x|1<x<3}

C．{x|2<x<3}D．{x|－1<x<3}

2．命题：∀x，y∈R，若xy＝0，则x＝0或y＝0的逆否命题是(　　)

A．∃x，y∈R，若x≠0或y≠0，则xy≠0

B．∃x，y∈R，若x≠0且y≠0，则xy≠0

C．∀x，y∈R，若x≠0或y≠0，则xy≠0
D．∀x，y∈R，若x≠0且y≠0，则xy≠0

3．若p：a∈R且－1<a<1，q：关于x的一元二次方程：x²＋(a＋1)x＋a－2＝0的一个根大于零，另一个根小于零，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

4．下列函数中，既是偶函数又在区间(1，2)上单调递增的是(　　)

A．y＝log₂|x|B．y＝cos 2x

C．y＝D．y＝log₂

5．函数y＝ln 的图象大致是(　　)

A　　　　　　　　B

C　　　　　　　　　D

6．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a＝(　　)

1. B.

C．2D．9

7．已知函数f(x)＝则函数y＝f[f(x)＋1]的零点个数是(　　)

A．2B．3

C．4D．5

8．设函数f(x)＝ax³＋3x，其图象在点(1，f(1))处的切线l与直线x－6y－7＝0垂直，则直线l与坐标轴围成的三角形的面积为(　　)

A．1B．3

中&华&资*源%库C．9D．12

9．已知a≥0，函数f(x)＝(x²－2ax)e^x，若f(x)在[－1，1]上是单调减函数，则a的取值范围是(　　)

1. B.

C.D.

10．已知函数f(x)＝ax³＋bx²－3x在x＝±1处取得极值，若过点A(0，16)作曲线y＝f(x)的切线，则切线方程为(　　)

A．9x＋y－16＝0B．9x－y＋16＝0

$来&源：C．x＋9y－16＝0D．x－9y＋16＝0

11．若不等式2xlnx≥－x²＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，0)B．(－∞，4]

C．(0，＋∞)D．[4，＋∞)

12．若函数f(x)＝x³－3x在[a，6－a²)上有最小值，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－，1)B．[－，1)

C．[－2，1)D．(－，－2]

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)

13．已知函数f(x)＝则f(log₂3)的值为________．

14．由直线x＝，x＝2，曲线y＝及x轴所围图形的面积为________．

15．定义在R上的奇函数f(x)满足f(－x)＝f，f(2 015)＝2，则f(－2)＝________．

16．f(x)＝ax³－6ax²＋b，x∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，则a＋b的值为________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知p：－x²＋8x＋20≥0，q：x²－2x＋1－m²≤0(m>0)．

(1)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；

(2)若“﹁p”是“﹁q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

m≤3.

18．(本小题满分12分)(2016·苏州模拟)设函数f(x)＝log₃(9x)·log₃(3x)，≤x≤9.

(1)若m＝log₃x，求m的取值范围；

(2)求f(x)的最值，并给出取最值时对应的x的值．

19． (本小题满分12分)(2016·盐城模拟)定义在R上的奇函数f(x)，满足条件：在x∈(0，1)时，f(x)＝，且f(－1)＝f(1)．

(1)求f(x)在[－1，1]上的解析式；

(2)求f(x)在(0，1)上的取值范围．

20．(本小题满分12分)(2015·重庆模拟)如图1，在半径为30 cm的圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，设矩形的边长AB＝xcm，圆柱的体积为Vcm³.

图1

(1)写出体积V关于x的函数解析式；

(2)当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大？

21．(本小题满分12分)(2015·重庆高考)已知函数f(x)＝ax³＋x²(a∈R)在x＝－处取得极值．

(1)确定a的值；

(2)若g(x)＝f(x)e^x，讨论g(x)的单调性．

22．(本小题满分12分)(2015·淮北模拟)已知函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)．

(1)求函数f(x)在[m，m＋1](m>0)上的最小值；
(2)对∀x∈(0，＋∞)，不等式xf(x)>－x²＋λx－1恒成立，求λ的取值范围．

参考答案：

1.【解析】　A＝{x|1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，所以A∩B＝{x|1<x<2}．

【答案】　A

2.【解析】　先将条件与结论交换，然后否定，但是大前提不能变．故D项符合．

【答案】　D

3.【解析】　若关于x的一元二次方程：x²＋(a＋1)x＋a－2＝0的一个根大于零，另一根小于零，则解得a<2，由－1<a<1能得出a<2，但由a<2不能得出－1<a<1，因此p是q的充分不必要条件．

【答案】　A

4.【解析】　对于A，函数y＝log₂|x|是偶函数且在区间(1，2)上是增函数；对于B，函数y＝cos 2x在区间(1，2)上不是增函数；对于C，函数y＝不是偶函数；对于D，函数y＝log₂不是偶函数．综上所述，故选A.

【答案】　A

5.【解析】　利用排除法求解．因为f(－x)＝ln ＝ln ＝f(x)，所以函数是偶函数，排除B和D；又x∈时，0<x－sinx<x＋sinx，0<<1，ln<0，排除C，故选A.

【答案】　A

6.【解析】　f(0)＝2⁰＋1＝2>1，f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a，解得a＝2.

【答案】　C

7.【解析】　令f(x)＝0，可得x＝－1或x＝1，令f(x)＋1＝－1，可得x＝－3或x＝.令f(x)＋1＝1，可得x＝－1或x＝1，由此可得函数y＝f[f(x)＋1]共有四个零点．

【答案】　C

8.【解析】　f′(x)＝3ax²＋3，由题设得f′(1)＝－6，∴3a＋3＝－6.

所以a＝－3，所以f(x)＝－3x³＋3x，f(1)＝0，切线l的方程为y－0＝－6(x－1)，即y＝－6x＋6.所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为S＝×1×6＝3.

【答案】　B

9.【解析】　f′(x)＝(2x－2a)e^x＋(x²－2ax)e^x＝[x²＋(2－2a)x－2a]e^x，由题意当x∈[－1，1]时，f′(x)≤0恒成立，即x²＋(2－2a)x－2a≤0恒成立．

令g(x)＝x²＋(2－2a)x－2a，

则有

即

解得a≥.

【答案】　C

10.【解析】　由已知得到f′(x)＝3ax²＋2bx－3，则

解得a＝1，b＝0.所以f(x)＝x³－3x，且f′(x)＝3x²－3，设切点坐标为(x₀，x－3x₀)，则斜率k＝f′(x₀)＝3x－3.由点斜式得切线方程为y－(x－3x₀)＝(3x－3)×(x－x₀)，将点A(0，16)代入得x₀＝－2，从而切线方程为9x－y＋16＝0.

【答案】　B

11.【解析】　由2xlnx≥－x²＋ax－3知a≤2lnx＋x＋，

设h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，则h′(x)＝，

当x∈(0，1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减．

当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增．

所以h(x)_min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)_min＝4.

故a的范围为(－∞，4]．

【答案】　B

12.【解析】　由f′(x)＝3x²－3＝0，得x＝±1，且x＝1为函数的极小值点，x＝－1为函数的极大值点．函数f(x)在区间[a，6－a²)上，则函数f(x)极小值点必在区间[a，6－a²)内，即实数a满足a<1<6－a²且f(a)＝a³－3a≥f(1)＝－2，

由得即－2≤a<1.

【答案】　C

13.【解析】　∵log₂324＝2，∴f(log₂3)＝f(log₂3＋1)

＝f(log₂6)，∵log₂6≥2，∴f(log₂6)＝＝2＝.

【答案】　

14.【解析】　由直线x＝，x＝2，曲线y＝及x轴所围图形的面积dx＝lnx＝ln2－ln＝2ln2.

【答案】　2ln2

15.【解析】　因为f(x)为R上的奇函数，

所以f(x)＝－f(－x)＝－f，

所以f＝－f＝f(x)，

即f(x＋3)＝f(x)，

所以f(x)是周期为3的奇函数，所以f(2 015)＝f(3×671＋2)＝f(2)＝2，所以f(－2)＝－f(2)＝－2.

【答案】　－2

$来&源：16.【解析】　f′(x)＝3ax²－12ax＝3a(x²－4x)，由题意知a≠0，

令f′(x)＝0，得x＝0，x＝4(舍去)，

若a>0，则f(x)在(－1，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减，f(x)的极大值为f(0)＝3，所以b＝3，又f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3>f(2)，于是当x＝2时，f(x)_min＝－16a＋3＝－29，所以a＝2，此时a＋b＝5.

若a<0，则f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，2)上单调递增．f(x)的极小值为f(0)，即f(x)_min＝f(0)＝b＝－29.又f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29<f(2)，所以f(x)_max＝－16a－29＝3.所以a＝－2，此时a＋b＝－31.

【答案】　5或－31

17.【解】　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m，

(1)因为p是q的充分不必要条件，

所以所以m≥9.

所以实数m的取值范围为m≥9.

(2)因为“﹁p”是“﹁q”的充分不必要条件，

所以q是p的充分不必要条件．

所以所以0<

所以实数m的取值范围为0<m≤3.

18.【解】　因为≤x≤9，m＝log₃x为增函数，
所以－2≤log₃x≤2，即m的取值范围为[－2，2]．

(2)由m＝log₃x，得f(x)＝log₃(9x)·log₃(3x)

＝(2＋log₃x)·(1＋log₃x)＝(2＋m)(1＋m)＝－，

由－2≤m≤2知，当m＝log₃x＝－，即x＝时，f(x)取得最小值－，当m＝log₃x＝2，即x＝9时，f(x)取得最大值12.

19.【解】　(1)设x∈(－1，0)，则－x∈(0，1)，

又x∈(0，1)时，f(x)＝，

∴f(－x)＝＝，

∵在R上的函数f(x)为奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－，

f(x)在(－1，0)上的解析式为f(x)＝－.

f(－1)＝f(1)，即－f(1)＝f(1)，∴f(1)＝f(－1)＝0.

综上，f(x)＝

(2)当x∈(0，1)时，f(x)＝，

令t＝2^x，则t∈(1，2)，

函数变为y＝，y′＝<0，

∴y＝在(1，2)上为减函数，

t＝1时，y_max＝；t＝2时，y_min＝.

∴f(x)在(0，1)上的取值范围是.

20.【解】　(1)连接OB，因为AB＝xcm，

所以OA＝ cm，

设圆柱的底面半径为rcm，则＝2πr，

即4π²r²＝900－x²，所以V＝πr²x＝π··x＝，其中0<x<30.

(2)由(1)知V＝(0<x<30)，

则V′＝.

由V′＝＝0，得x＝10，

因此V＝在(0，10)上是增函数，在(10，30)上是减函数．所以当x＝10时，V有最大值．

21.【解】　(1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax²＋2x，

因为f(x)在x＝－处取得极值，

所以f′＝0，

即3a·＋2·＝－＝0，解得a＝.

(2)由(1)得g(x)＝e^x，

故g′(x)＝e^x＋e^x

＝e^x＝x(x＋1)(x＋4)e^x.

令g′(x)＝0，解得x＝0或x＝－1或x＝－4.

当x<－4时，g′(x)<0，故g(x)为减函数；

当－4<x<－1时，g′(x)>0，故g(x)为增函数；

当－1<x<0时，g′(x)<0，故g(x)为减函数；

当x>0时，g′(x)>0，故g(x)为增函数．

综上知，g(x)在(－∞，－4)和(－1，0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数．

22.【解】　f′(x)＝，令f′(x)>0，得x>1，

令f′(x)<0，得0<x<1，

所以，函数f(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．

(1)当m≥1时，函数f(x)在[m，m＋1](m>0)上是增函数，所以f(x)_min＝f(m)＝，

当0<m<1时，函数f(x)在[m，1]上是减函数，

在[1，m＋1]上是增函数，

所以f(x)_min＝f(1)＝e.

(2)由题意，对∀x∈(0，＋∞)，不等式e^x＋x²＋1>λx恒成立，

即＋x＋>λ恒成立，

令g(x)＝＋x＋，则g′(x)＝，

由g′(x)>0，得x>1；

由g′(x)<0，得0<x<1.

所以g(x)_min＝g(1)＝e＋2，所以λ