黑龙江省大庆实验中学2016-2017学年高二6月月考数学（理）试卷

大庆实验中学高二下学期第二次月考

数学（理）试卷

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）

①是三角函数；

②三角函数是周期函数；

③是周期函数．

A．①②③B．②①③

C．②③①D．③②①

2．由曲线，直线所围成的封闭图形的面积是（）

1. B.C.D.

3．若复数满足，则的实部为（）

1. B.C.D.

4.的展开式中常数项为（）

A.-6 B.-2 C.2 D. 6

5．已知随机变量，随机变量的数学期望（）

A．B．C．D．

6．用数学归纳法证明：时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（）

1. B.C.D.

7．复数在复平面内对应的点在第一象限，则的取值范围是（）

1. B.C.D.

8．从6名学生中，选出4人分别从事A、B、C、D四项不同的工作，若其中甲、乙两人不能从事工作A，则不同的选派方案共有（）

A．96种B．180种C．240种D．280种

9．展开式中，项的系数为（）

1. -150B.70C.90D.110

10．观察算式,,…用你所发现的规律得出的末位数字是（）

1. B.C.D.

11．已知函数（）在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（）

1. B.C.D.

12．已知函数，射线.若射线恒在函数图象的下方，则整数的最大值为( )

1. 4B.5C.6D.7

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．三位老师和三位学生站成一排，要求任何两位学生都不相邻，则不同的排法总数为．

14．若，则___________．

15．已知随机变量服从正态分布,且,则__________．

16．复数满足，则的最小值为．

三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出过程）

17．（本小题满分10分）

某种产品的广告费用支出（万元）与销售额（万元）之间有如下的对应数据：

	2	4	5	6	8
	30	40	60	50	70

（1）求回归直线方程；

（2）据此估计广告费用为12万元时的销售额约为多少？

18．（本小题满分12分）在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖；某顾客从此10张券中任取2张，求：

（1）该顾客中奖的概率；

（2）该顾客获得的奖品总价值（元）的概率分布列.

19．（本小题满分12分）

某中学为了解2017届高三学生的性别和喜爱游泳是否有关，对100名高三学生进行了问卷调查，得到如下列联表：

已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为．

（Ⅰ）请将上述列联表补充完整；

（Ⅱ）判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？

附：

	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	2. 706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

20．（本小题满分12分）高三年级有3名男生和1名女生为了报某所大学，事先进行了多方详细咨询，并根据自己的高考成绩情况，最终估计这3名男生报此所大学的概率都是，这1名女生报此所大学的概率是．且这4人报此所大学互不影响。

（Ⅰ）求上述4名学生中报这所大学的人数中男生和女生人数相等的概率；

（Ⅱ）在报考某所大学的上述4名学生中，记为报这所大学的男生和女生人数的和，试求的分布列和数学期望．

21.（本小题满分12分）已知函数，其中实数．

（1）若，求函数在上的最值；

（2）若，讨论函数的单调性．

22.（本小题满分12分）已知函数为正常数．

⑴若，且，求函数的单调增区间；

⑵在⑴中当时，函数的图象上任意不同的两点，线段的中点为，记直线的斜率为，试证明：．

⑶若，且对任意的，，都有，求的取值范围．

一．选择题

BADAB AACDB AB

二．填空题

13.144 14.31 15.0.3 16.

三．解答题

17.（1）求回归直线方程，，（2分），，∴因此回归直线方程为；（6分）

（2）当时，预报的值为万元，即广告费用为12万元时，销售收入的值大约是万元.（10分）

18.解：（1），即该顾客中奖的概率为（4分）

（2）的所有可能值为0，10，20，50，60，

，，，

，，

故的分布列为：

	0	10	20	50	60

（12分）

19.（Ⅰ）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，所以喜欢游泳的学生人数为人．（3分）其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下：

（5分）

（Ⅱ）因为．（10分）

所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关．（12分）

20.解：（1）记“报这所大学的人数中男生和女生人数相等的”事件为A，男生人数记为B_i(i=0、1、2、3)，女生人数记为C_i(i=0、1)

P(A)=P(B₀C₀)+P(B₁C₁)==(5分)

（2）ξ=0，1，2，3，4

P（ξ=0）=

P（ξ=1）==

P（ξ=2）=

P（ξ=3）=

P（ξ=4）=（9分）

∴ξ的公布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P

∴E（ξ）=0×+1×+2×+3×+4×=（12分）

21.解：（1）∵f（x）=x﹣2lnx，∴f′（x）=，令f′（x）=0，∴x=2．列表如下，

（4分）

从上表可知，∵f（5）﹣f（1）=4﹣2ln5>0，∴f（5）＞f（1），

函数f（x）在区间[1，3]上的最大值是5-2ln5，最小值为2﹣2ln2；（6分）

（2）f′(x)=1+-==，

①当a＞2时，x∈（0，2）∪（a，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（2，a）时，f′（x）＜0，

∴f（x）的单调增区间为（0，2），（a，+∞），单调减区间为（2，a）；

②当a=2时，∵f′(x)=>0(x≠2)，∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）；

③当0＜a＜2时，x∈（0，a）∪（2，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（a，2）时，f′（x）＜0，

∴f（x）的单调增区间为（0，a），（2，+∞），单调减区间为（a，2）；

综上，当a＞2时，f（x）的单调增区间为（0，2），（a，+∞），单调减区间为（2，a）；

当a=2时，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；

当0＜a＜2时，f（x）的单调增区间为（0，a），（2，+∞），单调减区间为（a，2）．（12分）

22.解：⑴∵a，令得x>3或0,∴函数的单调增区间为.（4分）

⑵证明：当时∴,∴,又

不妨设，要比较与的大小，即比较与的大小，又∵，∴即比较与的大小．令,则,

∴在上位增函数．又，∴，∴，即（8分）

⑶∵，∴由题意得在区间上是减函数．

当，∴由在恒成立．设，，则∴在上为增函数，∴.

• 当，∴由

在恒成立

设，为增函数,∴综上：a的取值范围为（12分）