黑龙江省大庆市第四中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学（文）试卷

大庆四中2016～2017学年度第一学期期中考试高二年级

文科数学试题

考试时间：120分钟 分值：150分

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

注意事项：

1、答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上；条形码粘贴在指定位置．

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净再选涂其它答案标号．在试卷纸上作答无效．如需作图先用铅笔定型，再用黑色签字笔描绘。

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、“”是“”的 （ ）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

2、下列命题中的假命题是 （ ）

A．B．

C．D．

3、设命题都是偶数，则为 （ ）

A．都不是偶数B．不都是偶数

C．都是奇数D．一个是奇数一个是偶数

4、已知命题，则为 （ ）

A．B．

C．D．

5、已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为 （ ）

A．B．C．D．

6、下列选项中叙述错误的是 （ ）

A．若“”为假命题，则“”为真命题

B．命题“若，则且”的否命题是“若，则或”

C．命题“若，则”的逆否命题为真命题

D．若命题，则

7、若点到定点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程为（ ）

A．　B．C．D．或

8、已知两定点，，如果动点满足，则动点的轨迹是（ ）

A． 直线 B．圆C．椭圆D．双曲线

9、已知，为双曲线的左，右焦点，点在上，，则的值为 （ ）

A．B．C．D．

10、设点，是椭圆的左，右焦点，为直线上一点，△是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为 （ ）

A．　B．C．D．

11、已知双曲线，过其左焦点作轴的垂线交双曲线于两点，若双曲线右顶点在以为直径的圆内，则双曲线离心离的取值范围为 （ ）

A．B．C．D．

12、点，分别为圆与圆上的动点，点在直线上运动，则的最小值为 （ ）

A．　B．C．D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

13、抛物线的焦点坐标为

14、已知焦点在轴上的双曲线的渐近线为，且焦距是，则双曲线的标准方程为

15、若直线与圆相交于两点，则

16、已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：椭圆，其焦距为，且过点。点为椭圆在第一象限中的任意一点，过作的切线，分别与轴和轴的正半轴交于两点，则△面积的最小值为

三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.）

17、（本小题满分10分）

已知命题，命题，若是真命题，求实数的取值范围。

18、（本小题满分12分）

已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，求动圆圆心的轨迹方程。

19、（本小题满分12分）

已知定点，动点在抛物线上，为抛物线的焦点。

（1）求最小值；

（2）求以为中点的弦所在的直线方程。

20、（本小题满分12分）

已知点在椭圆上，若斜率为的直线与椭圆交于两点，当的面积最大时，求直线的方程。

21、（本小题满分12分）

如图，设P是圆上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且

（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程

（2）求过点，且斜率为的直线被C所截线段的长度

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22、（本小题满分12分）

已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为.以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线相切．

(1)求椭圆的方程；

(2)如图，若斜率为的直线与轴、椭圆顺次相交于(点在椭圆右顶点的右侧)，且.求证直线恒过定点，并求出斜率的取值范围．

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大庆四中2016～2017学年度第一学期期中考试高二年级

数学（文）试题答案

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，满分60分)

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)

13、14、15、16、

三、解答题：(本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.)

17、（本小题10分）

解：由，得………………3分

由，

知，得或………………6分

又是真命题，………………9分

实数的取值范围为………………10分

18、（本小题12分）

解：设圆的半径为，依题得：，………………2分

所以，………………4分

故动圆圆心的轨迹为以定点为焦点的双曲线的左支， ………………7分

于是，则………………9分

设，所以动圆圆心的轨迹方程为。 ………………12分

19、（本小题12分）

解：（1）设抛物线的准线为，所以的方程为，

过作，为垂足。由抛物线的定义知

当三点共线时值最小，此时，即最小值为。………………6分

（2）设以为中点的弦所在的直线交抛物线于两点，

所以，又因为在抛物线上，

则有做差化简得

又直线过点，所以有

即以为中点的弦所在的直线方程为。 ………………12分

20、（本小题12分）

解：设直线的方程为，

由消去得………………4分

则

由………………6分

得又点到的距离为………………8分

故………………10分

当且仅当，即时取等号，此时满足

故直线的方程为。 ………………12分

21、（本小题12分）

解：（1）设M的坐标为，P的坐标为，由已知得

∵P在圆上，∴即，整理得

即C的方程为………………4分

（2）过点且斜率为的直线方程为， ………………6分

设直线与C的交点为将直线方程代入C的方程，得，即………………8分

∴………………10分

∴线段AB的长度为

………………12分

22、（本小题12分）

1. 由题意知e＝＝，∴e²＝＝＝，即a²＝2b².又∵b＝＝1，
   ∴a²＝2，b²＝1，∴椭圆方程为＋y²＝1. ………………4分
2. 由题意，设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)．

由得(2k²＋1)x²＋4kmx＋2m²－2＝0.

由Δ＝16k²m²－4(2k²＋1)(2m²－2)＞0，得m²＜2k²＋1，

则有x₁＋x₂＝，x₁x₂＝. ………………7分

∵∠NF₂F₁＝∠MF₂A，且∠MF₂A≠90°，k_MF2＋k_NF2＝0.

又F₂(1,0)，则＋＝0，即＋＝0，

化简得2kx₁x₂＋(m－k)(x₁＋x₂)－2m＝0.

将x₁＋x₂＝，x₁x₂＝代入上式得m＝－2k， ………………9分

∴直线l的方程为y＝kx－2k，即直线过定点(2,0)． ………………10分

将m＝－2k代入m²＜2k²＋1，

得4k²＜2k²＋1，即k²＜，又∵k≠0，

∴直线l的斜率k的取值范围是∪. ………………12分