2015届湖北省高三第二次八校联考试卷数学（文）

鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 华师一附中

襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 荆州中学

湖北省八校

2015届高三第二次联考

数学试题（文科）

命题学校：黄冈中学 命题人：胡小琴 审题人：曾建民

考试时间：2015年4月1日 下午15:00—17:00 试卷满分：150分

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合（其中为虚数单位），，，则复数的共轭复数为
   A．B．C．D．
   2．若变量，满足约束条件，则的最大值为 　　
   A．B．C．D．
   3．从某校高三年级中随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检
   表中的视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示，若某高校专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报专业的人数为
   A．10B．20 C．8D．16
   4．已知中，内角,,所对的边长分别为,,，若，且，，则
   的面积等于
   A．B．C．D．
   5.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为
   A．B．C．D．
   6．已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于
   A．B．C．D．
   7．将一枚骰子先后抛掷两次得到的点数依次记为，，则直线与圆
   无公共点的概率为
   1. B.C.D.

8．下列命题为真命题的是

A．已知，则“”是“”的充分不必要条件

B．已知数列为等比数列，则“”是“”的既不充分也不必要条件

C．已知两个平面，，若两条异面直线满足且∥，∥，则∥

D.，使成立

9．对于函数，若存在区间，使得，则称函数为“可等域函数”，区间为函数的一个“可等域区间”．下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为

A．B．

C．D．

10．已知二次函数图象的顶点坐标为，与轴的交点,位于轴的两侧，以线段为直径的圆与轴交于和，则点所在曲线为

A． 圆 　B．椭圆C．双曲线 　　　 D．抛物线

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置、书写不清、模棱两可均不得分．

11．设向量，，则向量在向量方向上的投影为 ．

12．已知为钝角，且，则= ．

13．设函数，则方程的解集为 ．

14．已知抛物线的焦点为，准线为直线，过抛物线上一点作于，若直线的倾斜角为，则．

15．已知函数的图象在点处的切线与直线

垂直，执行如图所示的程序框图，输出的值是 ．

16．在上的函数满足：①为正常数）；②当时，，若函数的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，则等于__________．

17．若集合具有以下性质：①，；②若，则；且时，，

则称集合是“完美集”．给出以下结论：

①集合是“完美集”； ②有理数集是“完美集”；

③设集合是“完美集”，若,，则；

④设集合是“完美集”，若,，则必有；

⑤对任意的一个“完美集”，若，且，则必有．

其中正确结论的序号是　　　　　　　．

三、解答题：本大题5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18. （本小题满分12分）

函数（其中）的图象如图所示，

把函数的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得

到函数的图象．

（Ⅰ）求函数的表达式；

（Ⅱ）已知内角的对边分别为，且．若向量与共线，求的值．

19.（本小题满分12分）

数列中，，，数列满足，．

（Ⅰ）若数列是等差数列，求数列的前项和；

（Ⅱ）若数列是公差为的等差数列，求数列的通项公式．

20.（本小题满分13分）

如图，梯形中，于,于,且，现将，分别沿与翻折，使点与点重合，点为的中点，设面与面相交于直线，

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：面．

21. （本小题满分14分）

已知函数，

（Ⅰ）求函数的单调区间，并判断是否有极值；

（Ⅱ）若对任意的，恒有成立，求的取值范围；

（Ⅲ）证明：（）．

22．（本小题满分14分）

已知椭圆：，若椭圆上的一动点到右焦点的最短距离为，且右焦点到直线的距离等于短半轴的长．已知点，过点的直线与椭圆交于,两点，点与点关于轴对称．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求的取值范围；

（Ⅲ）证明：直线恒过某定点．

鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学

襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 华师一附中

2015届高三第二次联考

数学试题（文科）参考答案

一、选择题1-56-10

二．填空题

11.12.13.14．

15.16. 17 ②③④⑤

1.【解析】选．由，可得，即得，，的共轭复数为

2.【解析】选．线性约束区域如下图，看作是，当经过与的交点时，取最大值．

3.【解析】选．满足条件的有3组：视力在0.9到1.1；视力在1.1到1.3；视力在1.3到1.5，纵轴表示的是频率/组距，所以可以报考A专业的有(1+0.75+0.25)0.250=20(人).

4.【解析】选.由正弦定理可得，即，所以，因此这是一个正三角形．

5.【解析】选．易得中间的那份为20个面包，设最小的一份为，公差为，根据题意，于是有[20+()+()]()，解得=．

6.【解析】选．这是一个正三棱柱，外接球的球心就是两底面三角形的中心连线的中点，外接球的半径等于球心到正三棱柱的任意一个顶点的距离，可求半径为，那么外接球的表面积为．

7．【解析】B．直线与圆无公共点,则有，满足该条件的基本事件有15种，基本事件总数是36种，故所求概率为．

8.【解析】选．选项中，是的必要不充分条件，所以错；

选项中，由得或，可以推出；但若，则该数列有可能是摆动的等比数列，如：1，－1，1，－1，1，－1……，此时推不出，所以错；选项中，当时，，所以错．

9.【解析】选．选项A中，区间都可以是“等可域区间”；选项C，D中，函数均为增函数且与不可能有两个交点；选项B中，“等可域区间”为．

10【解析】选．结合二次函数的顶点坐标为()，根据题意可得，①，二次函数图像和x轴的两个交点分别为()和()，利用射影定理即得：，结合①先求出和之间的关系，代入①可得到，()所在的曲线为，表示椭圆．

11.【解析】．向量在向量方向上的投影为．

12.【解析】．，即，又为钝角，，．

13．【解析】．令=或=或．

14.【解析】．点只能在抛物线上半部分，设点为，，，解得，．

15．【解析】6．因为，即过A点的切线斜率为，与直线垂直，可得=－1从而，，程序的算法中，，跳出循环时．

16．【解析】．先令，那么，=；再令，那么，=；分别算出它们的极值点为()，,，三点共线解得．

17.【解析】 ②③④⑤

①－1，1，但是，不是“完美集”；

②有理数集肯定满足“完美集”的定义；

③0，，0－=－，那么；

④对任意一个“完美集”A，任取，若中有0或1时，显然；下设均不为0，1，而

，那么，所以，进而，结合前面的算式，；

⑤，若，那么，那么由(4)得到：．

三．解答题

18（Ⅰ）由函数的图象，，得，

又，所以．　……………………3分

由图像变换，得．……………………6分

（Ⅱ）∵， 即

∵，，

∴，∴． ………………………………………………7分

∵共线，∴．

由正弦定理， 得①………………………………9分

∵，由余弦定理，得②……………………11分

解方程组①②，得． ……………………………………12分

19. （Ⅰ），且是等差数列，，

当为奇数时，，即；

当为偶数时，，则，，

………………6分

（Ⅱ）是公差为的等差数列,，．

当为奇数时，；当为偶数时，．

即且，因为

，，

　　　………………………………………12分

20． 解析：（Ⅰ）．……………分

（Ⅱ）

①

，

在中，连接,得,

且

②

结合①②得，即面．　………………………………………………13分

21．（Ⅰ），（），，

即，当，，

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，

在处取得极大值，极大值为，无极小值．……………………………４分

（Ⅱ）方法1：因为，

对任意的恒成立,由（1）知，

则有，所以．……………………………………………9分

方法2：记，，

,，，由得即

上为增函数；

　上为增函数；在上为减函数．

因为对　即要求恒成立,

所以符合且　

得． ………………………………………………………………分

（Ⅲ），由（Ⅰ）知，

则（当且仅当取等号）．

令（），即，则有

则得证 ……………………………………………………………… 14分

22．解：（Ⅰ）由题意知， 解得，

故椭圆的方程．……………………………………………………分

（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为．

由得． ①

设点，，

，

即 ． ……………………………………………………分

(Ⅲ)由（Ⅱ）知，，直线的方程为．

令，得．

将，代入，

整理，得． ②

由①得，代入②整理，得．

所以直线恒过定点． …………………………………………14分