2015届湖北省高三第二次八校联考试卷数学（理）

鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 华师一附中

襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 荆州中学

2015届高三第二次联考

数学试题（理科）

命题学校：黄冈中学 命题人：龙燕 审题人：汤彩仙

考试时间：2015年4月1日下午15:00—17:00 试卷满分150分 考试用时120分钟

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集为，集合，则

1. B.
   C.D.
   2. 若复数满足为虚数单位），则
   1. B.C.D.
      3. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为
      1. B.C.D.
         4. 某几何体的三视图（单位：）如右图所示，其中侧视图是一个边长为
         2的正三角形，则这个几何体的体积是
         A.B.C.D.
         5. 在等腰中，，
         则的值为
         A．B．C．D．
         6. 设不等式组所表示的区域为，函数的图象与
         轴所围成的区域为,向内随机投一个点,则该点落在内的概率为
         A.B.C.D.
         7. 下列说法正确的是
         A. “”是“”的充要条件
2. “，”的否定是“”
3. 采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5,16,27,38,49的同学均被选出，则该班学生人数可能为60
   D. 在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为0.4，
   则在内取值的概率为0.8
   8. 已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则=
   1. B. C. 3 D. 2

9. 已知函数，若方程有且仅有两个不等的实根，则实数的取值范围是

A．B．

C．D．

10.函数图像上不同两点处的切线的斜率分别是，规定叫做曲线在点与点之间的“弯曲度”，给出以下命题：

①函数图像上两点与的横坐标分别为，则

②存在这样的函数，图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数；

③设点、是抛物线上不同的两点，则；

④设曲线上不同两点，且，若恒成立，则实数的取值范围是.以上正确命题的序号为

1. ①②B. ②③ C. ③④ D. ②③④

二、填空题：本大题共6个小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．

（一） 必考题（11—14题）

11. 已知二项式的展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数是_ _.

12. 若实数满足，则当取最小值时，的值为________.

13. 如图，在平面直角坐标系中，将直线与直线及轴所围成的图形绕轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积据此类比：将曲线与直线及轴所围成的图形绕轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积.

14.设数列共有项,且，对于每个均有.

（1）当时，满足条件的所有数列的个数为__________；

（2）当时，满足条件的所有数列的个数为_________.

(二) 选考题（请考生在第15、16两题中任选一题做答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号所在方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）

15. （选修4—1：几何证明选讲）如图，与圆相切于，不过圆心的

割线与直径相交于点.已知∠=，，,

则圆的半径等于__________．

16. （选修4—4：坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为

（为参数），以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

的极坐标方程为，则直线与曲线相交的弦长为__________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分12分）已知函数.

(Ⅰ)求的最小正周期；

(Ⅱ)在中，角所对的边分别为，若且的面积为，求边长的值.

18. （本小题满分12分）等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，

(Ⅰ)求数列和的通项公式；

(Ⅱ)令设数列的前项和，求

19. （本小题满分12分）端午节即将到来，为了做好端午节商场促销活动，某商场打算将进行促销活动的礼品盒重新设计.方案如下：将一块边长为10的正方形纸片剪去四个全等的等腰三角形再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒,其中重合于点O，与重合，与重合，与重合，与重合（如图所示）.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）当时,求二面角的余

弦值.

20.（本小题满分12分）根据最新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在，各类人群可正常活动．某市环保局在2014年对该市进行了为期一年的空气质量检测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为，，，，，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图．

（Ⅰ）求的值；并根据样本数据，试估计这一年度的空气

质量指数的平均值；

（Ⅱ）用这50个样本数据来估计全年的总体数据，将频率视为概率．如果空气质量指数不超过20，就认定空气质量为“最优等级”．从这一年的监测数据中随机抽取2天的数值，其中达到“最优等级”的天数为，求的分布列，并估计一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数．

21. （本小题满分13分）如图，已知椭圆是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设P、Q为椭圆上异于且不重合的两点，且的平分线总是

垂直于x轴，是否存在实数，使得，若存在，请求出的

最大值，若不存在，请说明理由.

22. （本小题满分14分）已知函数令.

（Ⅰ）当时，求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；

（Ⅲ）若，正实数满足，证明：

鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 华师一附中

襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 荆州中学

2015届高三第二次联考

数学试题（理科）参考答案

1-5 CDABA 6-10 BDACB

11.1012.513. 14. （1）3（2）313915.716.

1. 解析：，

2. 解析：

3. 解析：

4. 解析：由图知几何体的体积为

5. 解析：

6. 解析：区域的面积为，区域的面积为，由几何概型知所求概率为.

7. 解析：A中应为必要不充分条件；B中命题的否定为“，”；C错；D对.

8. 解析：设与轴的交点为M，过向准线作垂线，垂足为N，则由及可得

9. 解析：令得，原方程有两个相异的实根等价于两函数与的图象有两个不同的交点.

当时，易知临界位置为过点和，分别求出这两个位置的斜率和，由图可知此时

当时，设过点向函数的图象作切线的切点为，则由函数的导数为得

解得，得切线的斜率为，而过点的斜率为，由图知此时，

10.解析：①错：

②对：如；③对：；

④错：，

恒成立，故.

11.解析：由得，，令得，故含项的系数为．

12.解析：由柯西不等式得

此时又，

13.解析：

14.解析：（1）当时，因为，，

所以，，所以或或

所以满足条件的所有数列的个数为3个；

(2)令，则对每个符合条件的数列满足条件

，且

反之符合上述条件的9项数列，可唯一确定一个符合条件的10项数列

记符合条件的数列的个数为，

显然中有个3，个，个1

当给定时，的取法有种，易得的可能值为

故

所以满足条件的所有数列的个数为个.

15.解析：中，由切割线定理得

又由相交弦定理得

所以直径为14，故半径为7.

16.解析：把直线的参数方程化为普通方程得，把曲线的极坐标方程化为普通方程得，圆心到直线的距离为，则弦长为

17.解析：

…………………4分

（1）； …………………6分

（2）…………………8分

…………………10分

由余弦定理得…………………12分

18.解析：(Ⅰ)设数列的公差为d，数列的公比为q，则

由得解得

所以，． …………………4分

(Ⅱ)由，得，

则即 …………………6分

…………………9分

…………………12分

19.解：（Ⅰ）折后重合于一点

拼接成底面的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形，

底面是正方形，故. …………………2分

在原平面图形中，等腰三角形,………………4分

又平面.

又平面，平面平面. …………………6分

（Ⅱ）法1：过作交于点，连,面,,

面，为二面角的平面角. …………………8分

当时，即中，,

中，,

所以所求二面角的余弦值为…………………12分

法2：由（Ⅰ）知并可同理得到故以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系

在原平面图形中，则底面正方形的对角线，

在原平面图形中，可求得

在中，可求得

…………………8分

设平面的一个法向量为，

则得令，则…………………10分

平面，是平面的一个法向量，设二面角的大小为

则二面角的余弦值为…………………12分

20.解：(Ⅰ)由题意，得解得…………………3分

50个样本中空气质量指数的平均值为

由样本估计总体，可估计2014年这一年度空气质量指数的平均值约为25.6 …………6分

（Ⅱ）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在内为“最优等级”，且指数达到“最优等级”的概率为0.3，则.的可能取值为0，1，2，

的分布列为：

	0	1	2

…………………8分

.(或者)， …………………10分

故一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数大约为天. … 12分

21.解：（I）∵∴

又即，∴△AOC是等腰直角三角形 ……………2分

∵∴而点C在椭圆上，∴∴

∴所求椭圆方程为…………………4分

（II）对于椭圆上两点、Q，∵∠PCQ的平分线总是垂直于x轴

∴PC与CQ所在直线关于对称，设且，则，………6分

则PC的直线方程①

QC的直线方②

将①代入得③

∵在椭圆上，∴是方程③的一个根，∴……………8分

以替换，得到.

而∴∴∥AB，∴存在实数，使得………………10分

当时即时取等号，

又， …………………… 13分

22.解：⑴……………………2分

由得又所以．所以的单增区间为. ………4分

（2）方法一：令

所以．

当时，因为，所以所以在上是递增函数，

又因为

所以关于的不等式不能恒成立． ………………………6分

当时，．

令得，所以当时，当时，．

因此函数在是增函数，在是减函数．

故函数的最大值为…………8分

令因为

又因为在上是减函数，所以当时，．

所以整数的最小值为2． ……………10分

方法二：⑵由恒成立，得在上恒成立．

问题等价于在上恒成立．

令，只要． ……………………6分

因为令得．

设，因为，所以在上单调递减，

不妨设的根为．当时，当时，．

所以在上是增函数；在上是减函数．

所以． …………………8分

因为

所以此时所以即整数的最小值为2 …… 10分

（3）当时，

由即

从而……………………13分

令则由得，

可知在区间（0，1）上单调递减，在区间上单调递增。所以

所以即成立. ………………………14分