上海市复兴高级中学2016届高三3月月考数学（理）试卷

2015学年第二学期

高三数学 理科试卷$来&源：

考生注意：

1.本试卷共4页，23道试题，满分150分，考试时间120分钟.

2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.

一、填空题（本大题共有14题，满分56分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．

1. 已知集合，则_______________.

2.复数是实数，则实数=_______________.

3. 方程的解集为_________.

4.已知圆锥的轴与母线的夹角为，母线长为3，则过圆锥顶点的轴截面面积的最大值为_________.

5.已知，且，，则.

6. 设等差数列的前项和为，若,则= .

7.圆, 直线，，若被圆所截得的弦的长度之比为，则的值为_________.

8．设正三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且该正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，则该球的表面积为_________.

9. 已知，若对任意的，均存在使得，则实数的

取值范围是 ．

10.直线与抛物线相交于两点，且两点在抛物线的准线

上的射影分别是，若，则的值是 ．

11.在极坐标中，直线被圆截得的弦长为 .

12.一射手对靶射击，直到第一次中靶为止．他每次射击中靶的概率是0.9，他有3颗弹子，射击结束后尚余子弹数目的数学期望= ．

13. 已知，若存在，满足,则称是的一个“友好”三角形.

在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是_______：（请写出符合要求的条件的序号）

①；②； ③.

14.如图，在△中，，，，

点、分别在轴、轴上，当点在轴上运动时，点

随之在轴上运动，在运动过程中，点资*源%库 到原点的最大

距离是.

二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分资*源%库

15．已知数列中，，若利用下面程序框图计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是( )

A．B．

C．D．

16．在锐角中，内角的对边分别为，若，则下列各式正确的是 ( )

A．B．

C．D．

17．已知集合，若实数满足：对任意的，都有，则称是集合的“和谐实数对”.则以下集合中，存在“和谐实数对”的是 ( )

A．B．　　　　　　

C．D．

18. 已知正方体，记过点与三条直线所成角都相等的直线条数为, 过点与三个平面所成角都相等的直线的条数为，则下面结论正确的是 ( )

A．B．

C.D．

三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分．

如图，在直三棱柱中，，，

，点分别在棱上，且．

（1）求四棱锥的体积；

（2）求所在半平面与所在半平面所成二面角的余弦值．

20.（本题满分14分）本题共有2小题，第（1）小题满分6分，

第（2）小题满分8分.

如图，某城市设立以城中心O为圆心、公里为半径圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心O正东方向上一条高速公路PB、西南方向上有一条一级公路QC，现要在保护区边缘PQ弧上选择一点A作为出口，建一条连接两条公路且与圆O相切直道BC．已知通往一级公路道路AC每公里造价为万元，通往高速公路的道路AB每公里造价为万元，其中为常数，设，总造价为万元．
（1）把表示成的函数，并求出定义域；
（2）当时，如何确定A点的位置才能使得总造价最低？

21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题6分，第(2)小题8分.

已知椭圆的右顶点、上顶点分别为A、B，坐标原点到直线AB

的距离为，且.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C的左焦点的直线交椭圆于M、N两点，

且该椭圆上存在点P，使得四边形MONP（图形上字母按此

顺序排列）恰好为平行四边形，求直线的方程.

22.（本题满分16分）本题共有3个小题.第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分.

对于函数，若在定义域内存在实数，满足，称为“局部奇

函数”.

1. 已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？
   并说明理由；
   （2）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；
   （3）若是定义在的“局部奇函数”，求实数的取值范围.
   23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题①满分6分，
   第(2)小题②满分8分.
   已知等比数列的首项，数列前项和记为，前项积记为.
   1. 若，求等比数列的公比；
   2. 在(1)的条件下，判断||与||的大小；并求为何值时，取得最大值；
   3. 在(1)的条件下，证明：若数列中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其
      成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为，则数列为等比数列.
      

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      2015学年第二学期考试参考答案和评分标准
      一、填空题（本大题共14题,每题4分,满分56分）
      1． 2．-1 3．4．5．
      6.7.8．9.10．
      11．（理）（文） 12. （理）1.89 （文）13．②
      14．（理）（文）
      二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）
      15. C 16. B 17. C 18. D
      三、解答题（本大题共5题，满分74分）
      19．（本题满分12分）本题共2个小题，每小题6分.
      解：（理）（1）……6分
      （2）建立如图所示的直角坐标系，则,,,，
      ,……………………7分
      设平面的法向量为，则，
      所以……………………………9分
      平面的法向量为，则
      所以所在半平面与所在半平面所成二面角的余弦值为．…12分
      解：（文）（1）…6分
      （2）连接,由条件知,所以就是异面直线与所成的角．8分
      在中，，所以， ………………10分
      所以异面直线与所成的角为． …………………………………12分
      20．（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分.
      解：（1）BC与圆O相切于A，OABC,在ABC中，……2分
      同理，可得………4分
      
      ………6分
      （2）由（1）得
      
      …………9分
      ………12分
      当且仅当时取等号，又，所以
      即A点在O东偏南的方向上，总造价最低。……14分
      21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.
      解: (1) 设直线AB的方程为
      原点到AB的距离为，又，
      解得………4分
      故椭圆的方程为………6分
      （2）由（1）得椭圆的左焦点，
      易知直线的斜率不为0，可设直线，设，
      因为MOPN为平行四边形，
      得………8分
      联立………10分
      ………12分
      因为点P在椭圆上，有
      所以直线的方程为………14分
      22. （本题满分16分）本题共有3个小题.第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. (本题满分16分).
      解：（1）由方程有解，得有解…………4分
      （2），由可化为在区间上有解，
      设，则…………………10分
      （3）若，由方程有解，
      可得在上有解，设
      则，有在上有解。…………………12分
      设，
      当时，成立，得； …………………14分
      当时，要使在上有解，
      则须，
      所以…………………16分
      23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题①满分6分，第2小题②满分8分.
      (理)解:(1)、，解得，……4分
      (2).又,
      当时,；当时,.当时,取得最大值, …6分
      又,∴的最大值是和中的较大者, ……8分
      又，.因此当时,最大. …10分
      (3),随增大而减小,奇数项均正,偶数项均负,
      ①当是奇数时,设中的任意相邻三项按从小到大排列为,
      则,,
      ,因此成等差数列,
      公差；……14分
      ②当是偶数时,设中的任意相邻三项按从小到大排列为,
      则,.
      ∴,因此成等差数列,
      公差,
      综上可知,中的任意相邻三项按从小到大排列,总可以使其成等差数列,
      且, ∵,∴数列为等比数列. ……18分
      （文）解:(1)，解得，……4分
2. ,当时,等号成立；……6分

同理,……8分

当时,等号成立；.……10分

(3).又,……12分

当时,；当时,.当时,取得最大值, ……14分

又,∴的最大值是和中的较大者, ……16分

又，.因此当时,最大. ……18分