上海市浦东新区2015届高三4月教学质量检测数学（文）试卷

2015年浦东新区第二次高三数学质量检测

数学试卷（文科）

注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚.

2.本试卷共23道试题，满分150，考试时间120分钟.

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）；考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1.不等式的解为 ..

2.设是虚数单位，复数是实数，则实数.

3.已知一个关于的二元一次方程组的增广矩阵为，则.

4.已知数列的前项和，则该数列的通项公式.

5.已知展开式中二项式系数之和为1024，则含项的系数为 .

6.已知直线与圆相切，则该圆的半径大小为 .

7.已知满足，则的最大值为 .

8.若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是 .

9.已知球的表面积为，用一个平面截球，使截面球的半径为2，则截面与球心的距离是

10.已知，直线，直线，则直线的概率为 .

11.若函数的零点，为整数，则所以满足条件的值为 .

12.若正项数列是以为公比的等比数列，已知该数列的每一项的值都大于从开始的各项和，则公比的取值范围是 .

13.已知等比数列的首项、公比是关于的方程的实数解，若数列有且只有一个，则实数的取值集合为 .

14.给定函数和，若存在实常数，使得函数和对其公共定义域上的任何实数分别满足和，则称直线为函数和的“隔离直线”.给出下列四组函数：

①；②；

③；④

其中函数和存在“隔离直线”的序号是 .

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）；每小题给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，考生应在答题纸相应的位置上，选对得5分，否则一律不得分.

15.已知都是实数，那么“”是“”的 ( )

16.平面上存在不同的三点到平面的距离相等且不为零，则平面与平面的位置关系是 ( ) 平行

B.相交

C.平行或重合

D.平行或相交

17.若直线与圆没有公共点，设点的坐标,那过点的一条直线与椭圆的公共点的个数为 ( )

18.如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各项点依次为，则的值组成的集合为 ( )

A.

B.

C.

D.

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）：解答下列各题必须在答题纸的相应位置上，写出必要的步骤.

19.（本大题共有2个小题，满分12分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分.

已知函数为实数.

（1）当时，判断函数在上的单调性，并加以证明；

（2）根据实数的不同取值，讨论函数的最小值.

20.（本大题共有2个小题，满分12分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分.

如图，在四棱锥中，底面为边长为2的正方形，底面，

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）求点到平面的距离.

21.（本大题共有2个小题，满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.

一颗人造卫星在地球上空1630千米处沿着圆形轨

道匀速运行，每2小时绕地球一周，将地球近似为

一个球体，半径为6370千米，卫星轨道所在圆的圆

心与地球球心重合，已知卫星与中午12点整通过卫

星跟踪站点的正上空，12：03时卫星通过

点，（卫星接收天线发出的无线电信号所需时间忽略不计）

1. 求人造卫星在12：03时与卫星跟踪站之间的距离.（精确到1千米）
2. 求此时天线方向与水平线的夹角（精确到1分）.
   22.（本大题共有3个小题，满分16分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.
   已知直线与圆锥曲线相交于两点，与轴，轴分别交于两点，且满足
   （1）已知直线的方程为，抛物线的方程为，求的值；
   （2）已知直线，椭圆，求的取值范围；
   （3）已知双曲线，求点的坐标.
   23.（本大题共有3个小题，满分18分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分.
   第（3）小题满分8分.
   记无穷数列的前项的最大项为，第项之后的各项的最小项为，令.
   （1）若数列的通项公式为，写出，并求数列的通项公式；
   （2）若数列递增，且是等差数列，求证：为等差数列；
   （3）若数列的通项公式为，判断是否为等差数列，若是，求出公差；若不是，说明理由.
   浦东新区2014学年第二学期高三教学质量检测
   数学试卷（文科）答案
   注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚.
   2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.
   一、填空题（本大题共有14题，满分56分）；考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
   1．不等式的解为.
   2．设是虚数单位，复数是实数，则实数3.
   3．已知一个关于的二元一次方程组的增广矩阵为，则2.
   4．已知数列的前项和，则该数列的通项公式.
   5．已知展开式中二项式系数之和为1024，则含项的系数为210.
   6．已知直线与圆相切，则该圆的半径大小为1.
   7．已知满足，则的最大值为2.
   8．若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是.
   9．已知球的表面积为64，用一个平面截球，使截面圆的半径为2，则截面与球心的距离是.
   10．已知，直线，直线，则直线的概率为.
   11．若函数的零点为整数.则所有满足条件的值为或.
   12．若正项数列是以为公比的等比数列，已知该数列的每一项的值都大于从开始的各项和，则公比的取值范围是.
   13．已知等比数列的首项，公比是关于的方程的实数解，若数列有且只有一个，则实数的取值集合为.
   14．给定函数和，若存在实常数，使得函数和对其公共定义域上的任何实数分别满足和，则称直线为函数和的“隔离直线”. 给出下列四组函数；
   ①；②；
   ③；④
   其中函数和存在“隔离直线”的序号是 ①③④ .
   二、选择题（本大题共有4题，满分20分）； 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，考生应在答题纸相应位置上，选对得 5分，否则一律得零分.
   15．已知都是实数,那么“”是“”的 （ A ） 充分不必要条件必要不充分条件
   充分必要条件既不充分也不必要条件
   16．平面上存在不同的三点到平面的距离相等且不为零，则平面与平面的位置关系为 （ D ）
   平行相交平行或重合平行或相交
   17．若直线与圆没有公共点，设点的坐标，则过点的一条直线与椭圆的公共点的个数为 ( C )
   0121或2
   18．如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各顶点依次为，则，（）的值组成的集合为 （ D ）
   
   
   
   
   三、解答题（本大题共有5题，满分74分）；解答下列各题必须在答题纸的相应位置上，写出必要的步骤．
   19．（本题共有2个小题，满分12分）；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分.
   已知函数为实数.
   （1）当时，判断函数在上的单调性，并加以证明；
   （2）根据实数的不同取值，讨论函数的最小值.
   解：（1）由条件：在上单调递增.…………………………2分
   任取且
   ……………………4分
   ，
   结论成立 …………………………………………6分
   （2）当时，的最小值不存在； …………………………………7分
   当时，的最小值为0；………………………………………9分
   当时，，当且仅当时，
   的最小值为；………………………………………………12分
   20．（本题共有2个小题，满分14分）；第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分.
   如图，在四棱锥中，底面为边长为的正方形，底面,．
   （1）求异面直线与所成角的大小；
   （2）求点到平面的距离．
   解：（1）联结与交于点，取的中点，联结，则，所以为异面直线与所成角或补角．……………………2分
   在中，由已知条件得，，，，……………………5分
   所以，，所以异面直与所成角为．…………………………………7分
   （或用线面垂直求异面直线与所成角的大小）
   （2）设点到平面的距离为，
   因为，…………………………9分
   所以，，
   得．（或在中求解）………14分
   21．（本题共有2个小题，满分14分）；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.
   一颗人造地球卫星在地球表面上空1630千米处沿着圆形轨道匀速运行，每2小时绕地球旋转一周.将地球近似为一个球体，半径为6370千米，卫星轨道所在圆的圆心与地球球心重合.已知卫星于中午12点整通过卫星跟踪站点的正上空，12:03时卫星通过点.（卫星接收天线发出的无线电信号所需时间忽略不计）
   （1）求人造卫星在12:03时与卫星跟踪站之间的距离（精确到1千米）；
   （2）求此时天线方向与水平线的夹角（精确到1分）.
   解：（1）设人造卫星在12:03时位于点处，，，…2分
   在中，,
   （千米），……………………………………………5分
   即在下午12:03时，人造卫星与卫星跟踪站相距约为1978千米.…………………6分
   （2）设此时天线的瞄准方向与水平线的夹角为，则，
   ，，…………………9分
   即，，……………………………………………………11分
   即此时天线瞄准的方向与水平线的夹角约为.………………………………12分
   22．（本题共有3个小题，满分16分）；第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.
   已知直线与圆锥曲线相交于两点，与轴、轴分别交于、两点，且满足、.
   （1）已知直线的方程为，抛物线的方程为，求的值；
   （2）已知直线：（），椭圆：，求的取值范围；
   （3）已知双曲线：，，求点的坐标.
   解：（1）将，代入，求得点，，
   又因为，，……………………………………………………2分
   由得到，，，
   同理由得，.所以=.………………………4分
   （2）联立方程组：得，
   ，又点，
   由得到，， 同理由得到，，
   =，即，…6分
   , ………………………………8分
   因为，所以点在椭圆上位于第三象限的部分上运动，由分点的性质可知
   ，所以.………………………………10分
   （3）直线的方程为，代入方程
   得到:.
   ,(1)
   而由、得到：(2)
3. …………………………………………………………………12分

由（1）（2）（3）得到：，，

所以点，………………………………………………………………14分

当直线与轴重合时，，或者，，

都有也满足要求，

所以在轴上存在定点.……………………………………………16分

23．（本题共有3个小题，满分18分）；第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分.

记无穷数列的前项的最大项为，第项之后的各项的最小项为，令．

（1）若数列的通项公式为，写出，并求数列的通项公式；

（2）若数列递增，且是等差数列，求证：为等差数列；

（3）若数列的通项公式为，判断是否等差数列，若是，求出公差；若不是，请说明理由．

解：因为数列单调递增，，

所以；；……………………………………2分

当时，

数列的通项公式………………………………4分

（2）数列递增，即，令数列公差为

…………………………………6分

所以为等差数列.………………………………………………………10分

（3）数列的通项公式为，递减且.…………12分

由定义知，………………………………………………14分

，数列递增，即…………16分

………………18分