上海市松江区2016届高三上学期期末质量监控数学（理）试卷

松江区2015学年度第一学期高三期末考试

数学（理科）试卷

（满分150分，完卷时间120分钟） 2016.1

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．已知全集，是的子集，满足，，则集合= ．

2．若复数（i是虚数单位）的模不大于2，则实数a的取值范围是 ．

3．行列式的值是 ．

4．若幂函数的图像过点，则= ．

5．若等比数列满足，且公比，则．

6．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为、则有．

7．如图所示的程序框图，输出的结果是 ．

8．将函数图像上的所有点向右平移个单位，再将图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），则所得图像的函数解析式为 ．

9．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球， 2只黑球从中一次性随机摸出2只球则恰好有1只是白球的概率为 （结果用数值表示）．

10．在中，内角、、所对的边分别是、、. 已知，，则= ．

11．若展开式的第4项为，则．

12．已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与抛物线的一个交点为．若，则．

13．已知正六边形内接于圆，点为圆上一点，向量与的夹角为（），若将从小到大重新排列后恰好组成等差数列，则该等差数列的第3项为 ．

14．已知函数，对任意的，恒有成立， 且当时，. 则方程在区间上所有根的和为 ．

二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为

16．设，则“”是“”的

充分而不必要条件必要而不充分条件

充要条件既不充分也不必要条件

17. 在正方体中，、分别是棱、的中点，、分别是线段与上的点，则与平面平行的直线有

0条1条2条无数条

18．在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H扩展”. 已知数列1，2. 第一次“H扩展”后得到1，3，2；第二次“H扩展”后得到1，4，3，5，2； 那么第10次“H扩展”后得到的数列的所有项的和为

88572885752952329526

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分

如图，在三棱锥中，平面，，，,分别是的中点．

（1）求三棱锥的体积；

（2）若异面直线与所成的角为，求的值.

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分

已知函数．

（1）当时，求函数f(x)的值域；

（2）求函数y=f(x)的图像与直线y=1相邻两个交点间的最短距离．

21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含以下三个方面：①下潜时，平均速度为每分钟米，每分钟的用氧量为升；②水底作业需要10分钟，每分钟的用氧量为0.3升；③返回水面时，速度为每分钟米，每分钟用氧量为升；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为升．

（1）将表示为的函数；

（1）若，求总用氧量的取值范围．

22．（本题满分16分，第1小题3分，第2小题中5分、第2小题8分）

在平面直角坐标系中，为坐标原点，C、D两点的坐标为, 曲线上的动点P满足．又曲线上的点A、B满足．

（1）求曲线的方程；

（2）若点A在第一象限，且，求点A的坐标；

（3）求证：原点到直线AB的距离为定值．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

对于数列，称（其中）为数列的前k项“波动均值”.若对任意的，都有，则称数列为“趋稳数列”．

（1）若数列1，，2为“趋稳数列”，求的取值范围；

（2）若各项均为正数的等比数列的公比，求证：是“趋稳数列”；

（3）已知数列的首项为1，各项均为整数，前项的和为. 且对任意，都有， 试计算：（）．

松江区2015学年度第一学期高三期末考试

数学（理科）试卷参考答案 2016.1

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．． 2． ． 3．． 4．． 5． ．

6．． 7． ． 8． ． 9． ． 10． ．

11．． 12． ． 13． ． 14． ．

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．A． 16．B． 17．D． 18．B．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分

解： (1)由已知得，……………………2分

所以 ，体积……………………5分

(2)取中点，连接，则，

所以就是异面直线与所成的角. ……………………8分

由已知，，

. ……………………10分

在中，，

所以，. ……………………12分

20．（满分14分）本题有3小题，第1小题7分，第2小题3分，第,3小题4分．

解：（1）……………………4分

当时，，所以的值域为……7分

（2）∴，……………………9分

或，……………………12分

∴当时，两交点的最短距离为……………………14分

21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

解：（1）下潜所需时间为分钟；返回所需时间为分钟 …………2分

∴…………5分

…………6分

（2），当且仅当，即时取等号. …8分

因为，所以在上单调递减，在上单调递增

所以时，取最小值7 …………11分

又时，；时，， …………13分

所以的取值范围是． …………14分

22.（本题满分16分，第1小题3分，第2小题中5分、第2小题8分）

解（1）由，知，曲线E是以C、D为焦点，长轴的椭圆， ……………… 1分

设其方程为，则有，

∴曲线E的方程为 ……………… 3分

（2）设直线OA的方程为，则直线OB的方程为

由得，解得.………………4分

同理，由则解得. ………………5分

由知，

即………………6分

解得，因点A在第一象限，故， ………………7分

此时点A的坐标为………………8分

（3）设，，

当直线AB平行于坐标轴时，由知A、B两点之一为与椭圆的交点，

由解得此时原点到直线AB的距离为…10分

当直线AB不平行于坐标轴时，设直线AB的方程，

由得………………12分

由得

即

因………………14分

代入得即……15分

原点到直线AB的距离………………16分

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

解：（1）由题意，即………………2分

解得………………4分

（2）由已知，设，因且，故对任意的，都有………………5分

∴， ………………7分

因∴

∴,,,,,

∴…………………8分

∴

∴

∴

即对任意的，都有，故是“趋稳数列”……10分

(3) 当时，

当时，

∴

同理， ……………… 12分

因

∴

即 ……………… 14分

所以或

所以或

因为，且，所以， 从而 ………… 16分

所以

………… 18分