云南省临沧市第一中学2018届高三下学期第一次月考数学理

临沧市一中2017—2018学年下学期高三第1次月考

数学试卷 (理科)

注意事项：

1. 本卷满分150分，考试时间120分钟,答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在
   答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘在答题纸的指定位置上；
2. 选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；

非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写,字体要工整、笔迹要清楚；

1. 选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

1．设集合，，则=（ ）

A．B．C．D．

2．在复平面内，复数对应的点的坐标为，则在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知中，，，则的值是( )

A．B．C.D．

4．设，为的展开式的第一项（为自然对数的底数），,若任取，则满足的概率是( )

A．B．C.D．

5．函数的图象大致是（ ）

6．已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的表面积为（）

A．B．C．D．

7．已知，则的大小关系为（ ）

A．B．C．D．

8.执行如下程序框图，则输出结果为（ ）

A．20200 B．-5268.5 C．5050 D．-5151

9.如图，设椭圆:的右顶点为，右焦点为，为椭圆在第二象限上的点，直线交椭圆于点，若直线平分线段于，则椭圆的离心率是（）

1. B.C.D.

10.设函数为定义域为的奇函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为（ ）

1. 6B.7C.13D.14

11、已知函数，其中为函数的导数，求（ ）

1. 2 B . 2019 C. 2018 D.0

12.已知直线，若存在实数使得一条曲线与直线有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于，则称此曲线为直线的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程：

①；②；③；④.

其中直线的“绝对曲线”的条数为（）

1. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13、已知实数满足，且，则实数的取值范围

14、双曲线的左右焦点分别为、，是双曲线右支上一点，为的内心，交轴于点，若，且，则双曲线的离心率的值为.

15.若平面向量满足，则在方向上投影的最大值是.

16.观察下列各式：

；

；

；

；

若按上述规律展开后，发现等式右边含有“2017”这个数，则的值为

1. 解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17-21为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答）

17.(本小题满分10分）

已知等差数列中,公差,，且成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围.

18. （本小题满分12分）

为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：

（I）已知该校有名学生，试估计全校学生中，每天学习不足小时的人数．

（II）若从学习时间不少于小时的学生中选取人，设选到的男生人数为，求随机变量的分布列．

（III）试比较男生学习时间的方差与女生学习时间方差的大小．（只需写出结论）．

19.（本小题满分12分）

如图所示，四棱锥的底面为矩形，已知,.过底面对角线作与平行的平面交于.

1. 试判定点的位置，并加以证明；
2. 求二面角的余弦值.

20．（本小题满分12分）

在平面直角坐标平面中，的两个顶点为，平面内两点、同时满足：①；②；③．

（1）求顶点的轨迹的方程；

（2）过点作两条互相垂直的直线，直线与的轨迹相交弦分别为，设弦的中点分别为．

①求四边形的面积的最小值；

②试问：直线是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由．

21．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）当，求函数的图象在处的切线方程；

（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

（3）已知均为正实数，且，求证：

请考生在第22、23题中任选一道作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

1. 【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）
   在极坐标系中，曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数）．
   （1）求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程；
   （2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线，若分别是曲线和曲线上的动点，求的最小值．
2. 【选修4-5：不等式选讲】（10分）

已知=（）．

（Ⅰ）当时，解不等式．

（Ⅱ）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．

理科数学参考答案

1-5:B D A C D6-10:D A C C A 11-12:A C

13、14、15、16、

17、解：（1）由题意可得即………………2分

又因为，所以所以.………………5分

（2）因为，所以.………………7分

因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，

即存在，使得成立.………………9分

又，（当且仅当时取等号），

所以.即实数的取值范围是.………………12分

1. 解：

（I）由折线图可得共抽取了20人，其中男生中学习时间不足小时的有8人，女生中学习时间不足小时的有4人。

∴可估计全校中每天学习不足小时的人数为：人．……………2分

（II）学习时间不少于本的学生共人，其中男学生人数为人，故的所有可能取值为，，，，．……………3分

由题意可得；

；

；

；

．……………7分

所以随机变量的分布列为

∴均值．……………10分

（Ⅲ）由折线图可得.……………12分

19、解：（1）为的中点，证明如下：

连接，因为平面.平面平面，平面，所以，又为的中点，所以为的中点. ................4分

（2）连接，因为四边形为矩形，所以.因为，所以.同理，得，所以平面.以为原点，为轴，过平行于的直线为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系（如图所示）. ................6分

易知，，，，，，

则. ................8分

显然，是平面的一个法向量.设是平面的一个法向量，

则，即，取，

则，................10分

所以，

所以二面角的余弦值为. .........12分

20、1．（1）；（2）①的最小值的，②直线恒过定点．

试题解析：（1）∵

∴由①知

∴为的重心

设，则，由②知是的外心

∴在轴上由③知，由，得，化简整理得：．

（2）解：恰为的右焦点，

①当直线的斜率存且不为0时，设直线的方程为，

由，

设则，

①根据焦半径公式得，

又，

所以，同理，

则，

当，即时取等号．

②根据中点坐标公式得，同理可求得，

则直线的斜率为，

∴直线的方程为，

整理化简得，

令，解得

∴直线恒过定点，

②当直线有一条直线斜率不存在时，另一条斜率一定为0，直线即为轴，过点，

综上，的最小值的，直线恒过定点．

21.【答案】（Ⅰ）当时，则

则

∴函数的图像在时的切线方程为

（Ⅱ）∵函数在上单调递增∴在上无解

当时，在上无解满足

当时，只需∴①

∵函数在上单调递增∴在上恒成立

即在上恒成立

设

∵∴则在上单调递增

∴在上的值域为

∴在上恒成立则②

综合①②得实数的取值范围为

（Ⅲ）由（2）知，当时，在上单调递增

于是当时，

当时，

∴即，

同理有，

三式相加得

22、解：（1）∵的极坐标方程是，∴，整理得，∴的直角坐标方程为.……3分

曲线：，∴,故的普通方程为．……5分

（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线的方程为，则曲线的参数方程为（为参数）.设，则点到曲线的距离为

.

当时，有最小值，所以的最小值为.……10分

23、解：（Ⅰ）当时，等式，即，

等价于或或，（2分）

解得或，（4分）

所以原不等式的解集为；（5分）

（Ⅱ）设==，则=，

则在上是减函数，在上是增函数，

∴当=时，取最小值且最小值为， 8分

∴，解得，∴实数的取值范围为． 10分