云南省师大附中2016届高三上学期高考适应性月考（四）数学（文）试卷

云南师范大学附属中学2016届高考适应性月考（四）

数学文试卷

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设集合，，则（ ）

A．B．C．D．

2.设i是虚数单位，复数是纯虚数，则实数a=（ ）

A．-2 B．2 C．D．

3.某班级有50名学生，现用系统抽样的方法从这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号为1～50号，并按编号顺序平均分成10组（1～5号，6～10号，…，46～50号），若在第三组抽到的编号是13，则在第七组抽到的编号是（ ）

A．23 B．33 C．43 D．53

4.已知向量，其中，且，则向量和的夹角是（ ）

A．B．C．D．

5.若函数，，，又，，且的最小值为，则的值为（ ）

A．B．C．D．2

6.已知变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

7.执行如图所示的程序框图，则输出的s的值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

8.抛物线上一点P到它的焦点F的距离为5，O为坐标原点，则的面积为（ ）

A．1 B． C．2 D．

9. 一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A．20 B．24 C．16 D．

10. 数列是等差数列，若，且它的前n项和有最大值，那么当取得最小正值时，n等于（ ）

A．17 B．16 C．15 D．14

10.已知圆C：，直线，圆C上任意一点P到直线的距离小于2的概率为（ ）

A．B．C．D．

12. 已知函数，方程恰有3个不同实根，则实数a的取值范围是（ ）

A．B．C．D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 设函数是定义在R上的周期为3的偶函数，当时，，则.

14.已知正三棱柱的侧面展开图是相邻边长分别为3和6的矩形，则该正三棱柱的体积是 .

15.中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积，则.

16.点P为双曲线右支上的一点，其右焦点为，若直线的斜率为，M为线段的中点，且，则该双曲线的离心率为 .

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. （本小题满分12分）已知向量，，，设函数的部分图象如图所示，A为图象的最低点，B，C为图象与x轴的交点，且为等边三角形，其高为.

（1）求的值及函数的值域；

（2）若，且，求的值.

18. （本小题满分12分）

某校联合社团有高一学生126人，高二学生105人，高三学生42人，现用分层抽样的方法从中抽取13人进行关于社团活动的问卷调查.设问题的选择分为“赞同”和“不赞同”两种，且每人都做出了一种选择.下面表格中提供了被调查学生答卷情况的部分信息.

（1）完成下列统计表：

（2）估计联合社团的学生中“赞同”的人数；

（3）从被调查的高二学生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中恰好有一人“赞同”的概率.

19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，侧面底面ABCD，并且，F为SD的中点.

（1）证明：平面FAC；

（2）求三棱锥的体积.

20. （本小题满分12分）

设函数，，若是函数的极值点.

（1）求实数a的值；

（2）若恒成立，求整数n的最大值.

21. （本小题满分12分）如图，过椭圆内一点的动直线与椭圆相交于M，N两点，当l平行于x轴和垂直于x轴时，l被椭圆所截得的线段长均为2

？若存在，求出定点B的坐标，若不存在，请说明理由.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. （本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】

如图，的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，的平分线与BC相交于点D，求证：

（1）；

（2）.

23. （本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为，（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为，A，B两点的极坐标分别为.

（1）求圆C的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）点P是圆C上任一点，求面积的最小值.

24. （本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数.

（1）解不等式：；

（2）已知，求证：恒成立.

云南师大附中2016届高考适应性月考卷（四）

文科数学参考答案

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

【解析】

1．，故选C．

2．是纯虚数，，，故选D．

3．抽样间隔为，由系统抽样的特点，可得所抽编号成等差数列，由等差数列性质知，故选B．

4．由题意知，，所以，设与的夹角为，则，故选B．

5．因为的最小值为，所以，所以，故选A．

6．作出可行域如图1中阴影部分，目标函数过点时，

最小值为1，故选D．

7．由程序框图知，输出的结果为

，当时，，故选B．

8．抛物线的焦点为，准线l：，设点，则，，，，故选C．

9．该几何体为一个正方体截去三棱台，如图2所示，

截面图形为等腰梯形，，

梯形的高，所以，

所以该几何体的表面积为20，故选A．

10．∵数列的前n项和有最大值，∴数列为递减数列，又，且，又，故当时，取得最小正值，故选C．

11．圆C：，圆心，半径，因为圆心到直线的距离是3，所以圆上到直线距离小于2的点构成的弧所对弦的弦心距是1，设此弧所对圆心角为，则，所以，即，所对的弧长为，所以所求概率为，故选D．

12．当直线与曲线相切时，设切点为，切线斜率为，则切线方程为，切线过点，，此时；当直线过点时，．结合图象知，故选A．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

题号	13	14	15	16
答案		或

【解析】

13．．

14．若正三棱柱的高为6时，底面边长为1，；若正三棱柱的高为3时，底面边长为2，．

15．由余弦定理，

，又，

，，

即．

16．设左焦点为，则，，，又

，．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由已知可得

得，…………………………………………………………………………（4分）

故，

所以函数的值域为．…………………………………………（6分）

（Ⅱ）因为，

由（Ⅰ）有，即，

由，得，

所以，

故

．…………………………………………………………（12分）

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由已知可得

………………………………………………………………………………（3分）

（Ⅱ）（人）．…………………………………（6分）

（Ⅲ）设高二学生中“赞同”的三名学生的编号为1，2，3，“不赞同”的两名学生的编号为4，5，选出两人有，共10种结果，

其中恰好有一人“赞同”，一人“不赞同”的有，共6种结果满足题意，且每种结果出现的可能性相等，

所以恰好有一人“赞同”的概率为．…………………………………（12分）

19．（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：如图3，连接BD交AC于点E，连接EF，

∵ABCD是菱形，，

，

又

∴．…………………………………（6分）

（Ⅱ）解：如图4，取AB的中点O，连接SO，OD,

过F作交OD于点G，

，

，

且，

，

∴三棱锥S−FAC的体积

．……………………………………………（12分）

20．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ），

依题意，，据此，

，解得．…………………………………（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，由，得，

于是对恒成立，

令，则，

记，求导得，

可知在区间上递增，

由，

可知使得，即，

当时，，递减；

当时，，递增，

所以．

，

，

，

故当恒成立时，只需，又n为整数，

所以，n的最大值是0．………………………………………………………（12分）

21．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由已知得，点在椭圆上，

所以，解得，

所以椭圆的方程为．…………………………………………（4分）

（Ⅱ）当直线l平行于x轴时，则存在y轴上的点B，使，设；

当直线l垂直于x轴时，，

若使，则，

有，解得或．

所以，若存在与点A不同的定点B满足条件，则点B的坐标只可能是．

………………………………………………………………………………（6分）

下面证明：对任意直线l，都有，即．

当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立；

当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为．

设M，N的坐标分别为，

由得，

其判别式，

所以，，

因此，．

易知点N关于y轴对称的点的坐标为

又，

，

所以，即三点共线，

所以．

故存在与点A不同的定点，使得．

…………………………………………………………………………（12分）

22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】

证明：（Ⅰ）∵∠ADE=∠ABD+∠BAD，∠DAE=∠DAC+∠EAC，

而∠ABD=∠EAC，∠BAD=∠DAC，∴∠ADE=∠DAE，

．……………………………………………………………………（5分）

（Ⅱ）

，

，

，又，

，即，

由（Ⅰ）知，

．…………………………………………………………（10分）

23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】

解：（Ⅰ）由

得

消去参数t，得，

所以圆C的普通方程为．

由，

得，

即，

换成直角坐标系为，

所以直线l的直角坐标方程为．……………………………………（5分）

（Ⅱ）化为直角坐标为在直线l上，

并且，

设P点的坐标为，

则P点到直线l的距离为，

，

所以面积的最小值是．…………………………（10分）

（说明：用几何法和点到直线的距离公式求也可参照给分．）

24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】

（Ⅰ）解：，即，

①当时，不等式为，即，

是不等式的解；

②当时，不等式为，即恒成立，

是不等式的解；

③当时，不等式为，即，

是不等式的解．

综上所述，不等式的解集为．…………………………………………（5分）

（Ⅱ）证明：，

，

恒成立．…………………………………………（10分）