四川省雅安中学2018届高三12月月考数学文

雅安中学2018届高三12月月考

数学（文）试题

（考试用时：120分 全卷满分：150分）

第Ι卷（选择题部分，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设集合，集合，若，则实数的取值范围是

1. B.C.D.

2.设复数，则复数在复平面内对应的点到原点的距离是

A. 1 B. C. 2 D.

3.从编号为1～50的50名学生中随机抽取5人来进行学情的测评分析，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取的5名学生的编号可能是

A．5,10,15,20,25 B．3,13,23,33,43

C．1,2,3,4,5 D．2,4,6, 16,32

4.关于x的方程有实根b，且，则复数z等于

A.B.C.D.

5.设，则“”是“”的

A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

6.在等差数列{a_n}中，若，则的值是

A． ﹣5 B．C．D．

7．函数的值域为

A.B.C.D.

8.已知一个空间几何体的三视图如图所示，这个空间几何体的顶点均在同一个球面上，则此球的体积与表面积之比为

A．31 B．13 C．41 D．32

9. 如图，是某算法的程序框图，当输出时，正整数的最小值是

A. 2

B. 3

C. 4

D.5

10.已知点在同一个球的球面上，若四面体中球心恰好在侧棱上，，则这个球的表面积为

A.B.

C.D.

11．若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是

A．B．C．D．

12. 已知函数与的图象关于轴对称，当函数和在区间同时递增或同时递减时，把区间叫做函数的“不动区间”，若区间1,2]为函数的“不动区间”，则实数的取值范围是

A. (0，2] B. C.D.

第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～23题为选做题，考生根据要求作答。

二、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分

13．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为　　．

14.已知点P是直线上点，点Q是圆上的任意一点，则的最小值是 .

15. . 已知则展开式中的常数项为　　 .

16.一艘海轮从出发，沿北偏东的方向航行n mile后到海岛，然后从出发沿南偏东的方向航行n mile到达海岛. 如果下次航行此船沿南偏东角的方向，直接从出发到达，则的值为____________.

三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本题满分12分）在中,角、、所对的边分别为、、.已知.

（1）求；

（2）若的面积为，周长为，求.

18.（本题满分12分）某学校高三年级800名学生在一次百米测试中，成绩全部在12秒到17秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[12，13），第二组[13，14），…，第五组 [16，17]，如图是根据上述分组得到的频率分布直方图．

（1）若成绩小于13秒被认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；

（2）请估计本次测试的平均成绩；

（3）若样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组，求所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生的概率．

19.（本题满分12分）已知数列中，且．

（I）求证：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；

（Ⅱ）设，数列的前项和为Sn，求证：1≤Sn＜4．

20.（本题满分12分）已知椭圆：的离心率为，顺次连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为16．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过椭圆的顶点的直线交椭圆于另一点，交轴于点，若、、成等比数列，求直线的斜率．

21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝mx－alnx－m，g(x)＝，其中m，a均为实数，e为自然对数的底数．

(Ⅰ)求函数g(x)的极值；

(Ⅱ)设m＝1，a<0，若对任意的x₁，x₂∈[3，4](x₁≠x₂)，|f(x₂)－f(x₁)|<恒成立，求实数a的最小值．

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．

22.（本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，圆的极坐标方程为．

（1）将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）过点作斜率为1直线与圆交于两点，试求的值.

23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数．

(Ⅰ)求证：当时，不等式成立．

(Ⅱ)关于的不等式在R上恒成立，求实数的最大值．

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雅安中学2015级高三上学期月考试题

数学（文史类）参考答案

1—5 ABBAB 6—10 CCBCD 11—12 AC

1. 8 14. 15. -160 16.
   17.答案：（1）； （2）7．
   解析：（1）首先利用正弦定理化已知条件等式中的边为角，然后利用两角和的正弦公式结合三角形内角和定理求得的值，从而求得角的大小；（2）首先结合（1）利用三角形面积公式求得的关系式，然后根据余弦定理求得的值．
   试题解析：（1）由正弦定理可得
   sinA＝2sinAcosAcosB－2sinBsin²A …2分
   ＝2sinA(cosAcosB－sinBsinA)＝2sinAcos(A＋B)＝－2sinAcosC．
   所以cosC＝－，故C＝． …6分
   （2）由△ABC的面积为得ab＝15， …8分
   由余弦定理得a²＋b²＋ab＝c²，又c＝15－(a＋b)，
   解得c＝7． …12分
   18.解：（1）由频率分布直方图，得成绩小于13秒的频率为0.06，
   ∴该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数为：
   0.06×50=3（人）．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分
   （2）┅┅6分
   （3）由频率分布直方图，得第一组的频率为0.06，第五组的频率为0.08，
   ∴第一组有50×0.06=3人，第五组有50×0.08=4人，┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分
   ∵样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，
   ∴第一组中有1名女生2名男生，第五组中有3名女生1名男生，
   现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组，
   设第一组中三人分别为，其中为女生，第五组中四人分别为，其中为男生，
   则基本时间空间为n=12，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分
   所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生，包含的基本事件个数m=7，
   ∴所求概率为p=．┅┅┅┅┅┅┅┅12分
   19.解：（1）由题意知：即得┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分
   （2）┅┅┅┅┅┅8分
   ┅┅┅┅┅┅┅┅10分
   
   ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分
   20.解：（Ⅰ）由题意可得：，①
   又由，，得，②
   解①②的，，所以椭圆的方程为．
   （Ⅱ）由题意，故点在的延长线上，
   当直线的斜率不存在时，，不合题意；
   当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
   令，得，
   将直线的方程代入椭圆的方程，
   得，
   因为，解得，
   由，得，即，
   解得，即．
   21.解析：(Ⅰ)由题得，g′(x)＝，令g′(x)＝0，得x＝1，
   列表如下：

   x	(－∞，1)	1	(1＋∞)
   g′(x)	大于0	0	小于0
   g(x)		极大值	

   ∴当x＝1时，g(x)取得极大值g(1)＝1，无极小值；(4分)
   (Ⅱ)当m＝1，a<0时，f(x)＝x－alnx－1，x∈(0，＋∞)，
   ∵f′(x)＝>0在区间[3，4]上恒成立，
   ∴f(x)在区间[3，4]上为增函数，设h(x)＝＝，
   ∵h′(x)＝>0在区间[3，4]上恒成立，∴h(x)在区间[3，4]上为增函数，不妨设x₂>x₁，
   则|f(x₂)－f(x₁)|<等价于f(x₂)－f(x₁)<h(x₂)－h(x₁)，
   即f(x₂)－h(x₂)<f(x₁)－h(x₁)，设u(x)＝f(x)－h(x)＝x－alnx－1－，
   则u(x)在区间[3，4]上为减函数，∴u′(x)＝1－－≤0在区间[3，4]上恒成立，
   ∴a≥x－e^x－1＋在区间[3，4]上恒成立，∴a≥，x∈[3，4]
   设v(x)＝x－e^x－1＋，x∈[3，4]，
   则v′(x)＝1－e^x－1＋＝1－e^x－1，x∈[3，4]，
   ∵e^x－1>e²>1，∴v′(x)<0，则v(x)在区间[3，4]上为减函数，
   ∴v(x)在区间[3，4]上的最大值v(3)＝3－e²，∴a≥3－e²，
   ∴实数a的最小值为3－e².(12分)
   22. 解：（1）由得：,
   即：,C的直角坐标方程为：
2. 设A,B两点对应的参数分别为，直线和圆的方程联立得：

所以,<0

所以,

23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

23.解析：(1)证明：由2分

得函数的最小值为3，从而，所以成立. 5分

(2) 由绝对值的性质得， 7分

所以最小值为，从而， 8分

解得， 9分

因此的最大值为. 10分