四川省雅安中学2018届高三12月月考数学理

雅安中学2018届高三12月月考

数学（理）试题

（考试用时：120分 全卷满分：150分 ）

第Ι卷（选择题部分，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若,则=

A． B．1 C．3 D．

2．设数列的前项和，若，且，则等于 （ ）

A．B．C．D．

3.与圆x²＋(y－2)²＝2相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有( )

A.2条 B.3条 C.4条 D.6条

4．小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈，包括他共7人，一天爸爸从果园里摘了7个大小不同的梨，给家里每人一个，小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个，则梨子的不同分法共有（　　）

A．96种B．120种C．480种D．720种

5.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(　　)

1. B.

C.D.

6. 已知随机变量x服从正态分布N（3，σ²），且P（x≤4）=0.84，则P（2＜x＜4）=（ ）

A．0.84B．0.68C．0.32D．0.16

7．△ABC中，a．b．c分别为∠A．∠B．∠C的对边，如果a．b．c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（　　）

A．B．C．D．

8.如图，等腰梯形中，若分别是上的点，且满足，当时，则有（ ）

A.B.

C．D．

9．已知函数，，的零点依次为，，，则（ ）

A．B．

C．D．

10.如图所示程序框图输出的结果是，则判断框内应填的条件是（ ）

．．．．

11．如果定义在上的函数满足：对于任意，都有，则称为“函数”．给出下列函数：

①；②；③；④，其中“函数”的个数有（ ）

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

12.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（　　）

　 A．B．C．D．

第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～23题为选做题，考生根据要求作答。

二、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分

13．一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积为　　．

14.若是数列的前项的和，且，则数列的最大项的值

为___________.

15.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4∶3∶3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一年级抽取________名学生.

16．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时f(x)＝()^1－x，则

①2是函数f(x)的周期；

②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；

③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；

④当x∈(3,4)时，f(x)＝()^x－3.

其中所有正确命题的序号是.

三、解答题:（本题包括6小题，共70分。要求写出证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

在中，角所对的边分别为，且.

（1）求的值；

（2）若，点在线段上，，,求的面积.

18.（本小题满分12分）

某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数. 设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：

①若xy≤3，则奖励玩具一个；

②若xy≥8则奖励水杯一个；

③其余情况奖励饮料一瓶.

假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动.

(1)求小亮获得玩具的概率；

(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.

19.（本小题满分12分）

在多面体中，四边形是正方形，，，，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）在线段上确定一点，使得平面与平面所成的角为．

20. （本小题满分12分）

如图所示，在中，的中点为,且，点在的延长线上，且.固定边，在平面内移动顶点，使得圆与边，边的延长线相切，并始终与的延长线相切于点，记顶点的轨迹为曲线.以所在直线为轴，为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系.

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）设动直线交曲线于两点，且以为直径的圆经过点，求面积的取值范围.

21.（本小题满分12分）

已知函数存在两个极值点．

（Ⅰ）求实数a的取值范围；

（Ⅱ）设和分别是的两个极值点且，证明：．

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号，本小题满分10分。

22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．

（Ⅰ）若，是直线与轴的交点，是圆上一动点，求的最大值；

（Ⅱ）若直线被圆截得的弦长等于圆的半径倍，求的值．

23.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

(Ⅰ)若不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件为<x<，求实数m的取值范围；

(Ⅱ)关于x的不等式|x－3|＋|x－5|<a的解集不是空集，求实数a的取值范围．

雅安中学2015级高三上学期月考试题

数学（理工类）参考答案

1—5 ACBCD 6—10 BBBAA 11—12 AC

13. π 14. 12 15.32　[从高一年级抽取的学生人数为80×＝32.]

16．①②④

17.（本小题满分12分）

1. （1）因为，由正弦定理得：
   即,
   在中，，所以
   ，两边平方得：
   由，，得
   解得：
   所以的面积
   18.（本小题满分12分）
   解　(1)用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应.
   因为S中元素的个数是4×4＝16.
   所以基本事件总数n＝16.
   记“xy≤3”为事件A，
   则事件A包含的基本事件数共5个，
   即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)，
   所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.
2. 记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.

则事件B包含的基本事件数共6个.

即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4).

所以P(B)＝＝.

事件C包含的基本事件数共5个，

即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1).

所以P(C)＝.因为＞，

所以小亮获得的水杯的概率大于获得饮料的概率.

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）四边形是正方形，

.

在中，，即

，即． ………………… 2分

在梯形中，过点E作EP//BF，交AB于点P.

∵EF//AB,∴EP=BF=2.，PB=EF=1，

∴AP=AB-PB=1

在中，可求，

∴

∴..………………………………………… 4分

∴.

又，

∴平面.……………………………… 5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，又，

∴平面，又平面，

∴平面平面.…………………6分

如图，过作平面的垂线，

以点为坐标原点，所在直线分别

为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，

，．……………7分

设，，则.

设平面的一个法向量则，

即令，得

……………………………………………………………9分

易知平面的一个法向量. ………………………………………8分

由已知得，

化简得，

． ……………………………………………………………………………11分

∴当点满足时，平面与平面所成角的大小为.………12分 20.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）依题意得，设动圆与边的延长线相切于，与边相切于， 则

所以

…………………2分

所以点轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，且挖去长轴的两个顶点.则曲线的方程

为. …………………4分

（Ⅱ）【法一】

由于曲线要挖去长轴两个顶点，所以直线斜率存在且不为，所以可设直线…………………5分

由得,，同理可得：,；

所以，

又，所以

…………………8分

令，则且，所以

…………………10分

又，所以，所以，

所以，所以，

所以面积的取值范围为. …………………12分

【法二】

依题意得直线斜率不为0，且直线不过椭圆的顶点，则可设直线：，且。

设，又以为直径的圆经过点，则，所以…………………5分

由得，则

且，所以

又

代入①得：，所以，

代入②得：恒成立所以且.

又；

点到直线的距离为， …………………7分

所以

…9分

（Ⅰ）当时，；

（Ⅱ）当且时，，

又，当且仅当时取“”，所以，所以，所以，所以，所以； ……11分

综合（1），（2）知. …………………12分

21.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题设函数的定义域为，，故函数有两个极值点等价于其导函数在有两个零点．

当a= 0时，显然只有1个零点．……………………… 2分

当a≠0时，令，那么．

若a< 0，则当x >0时，即单调递增，所以无两个零点. … 3分

若a >0，则当时，单调递增；当时，单调递减，所以. 又，当x→0时→，故若有两个零点，则，得．

综上得，实数a的取值范围是． ………………………………………… 6分

（Ⅱ）要证，两边同时取自然对数得．……… 7分

由得，得.

所以原命题等价于证明．…………… 8分

因为，故只需证，即．…… 9分

令，则，设，只需证．… 10分

而，故在单调递增，所以．

综上得．………………………………………………………………… 12分

22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

解：（Ⅰ）当时，圆的极坐标方程为，可化为，

化为直角坐标方程为，即.

直线的普通方程为，与轴的交点的坐标为，

∵圆心与点的距离为，

∴的最大值为.

（Ⅱ）由，可化为，

∴圆的普通方程为.

∵直线被圆截得的弦长等于圆的半径的倍，

∴由垂径定理及勾股定理得：圆心到直线的距离为圆半径的一半，

∴，解得或．

23.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

【解析】(Ⅰ)不等式|x－m|<1的解集为{x|m－1<x<m＋1}，依题意有{x|m－1<x<m＋1}，则，解得－≤m≤.5分

(Ⅱ)∵|x－3|＋|x－5|≥|(x－3)－(x－5)|＝2，

且|x－3|＋|x－5|<a的解集不是空集，

∴a>2，即a的取值范围是(2，＋∞).10分