天津市和平区2018届高三上学期期末考试数学（理）

天津市和平区2018届高三上学期期末考试

数学（理）试题

第Ⅰ卷（共40分）

一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，则（ ）

A．B．

C．D．

2．“”是“关于的方程有实数根”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）

A．9 B．5 C．1 D．-5

4．已知双曲线的右焦点为，若过点的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线斜率的取值范围是（ ）

A．B．C．D．

5．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为（ ）

A．72 B．90 C．101 D．110

6．将函数的图象向左平移个单位，得到图象对应的解析式为（ ）

A．B．

C．D．

7．如图，正方形的边长为2，为的中点，，且与相交于点，则的值为（ ）

A．B．C．D．

8．已知函数若始终存在实数，使得函数的零点不唯一，则的取值范围是（ ）

A．B．C．D．

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）

9．已知是虚数单位，则复数．

10．的展开式中的系数为 ．（用数字作答）

11．一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．

12．已知，则的最小值为 ．

13．已知函数，若，则的值为 ．

14．现有6个人排成一横排照相，其中甲不能被排在边上，则不同排法的总数为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15．在中，角所对的边分别是，且.

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）若，，求的面积.

16．甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为、、，笔试、口试、实验通过考试分别记4分、2分、4分，没通过的项目记0分，各项成绩互不影响.

（Ⅰ）若规定总分不低于8分即可进入复赛，求甲同学进入复赛的概率；

（Ⅱ）记三个项目中通过考试的个数为，求随机变量的分布列和数学期望.

17．如图，在三棱锥中，平面，，为的中点，为的中点，点在线段上，，.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若，求证：平面；

（Ⅲ）求与平面所成角的正弦值.

18．已知是等差数列，是等比数列，其中，，.

（Ⅰ）求数列与的通项公式；

（Ⅱ）记，求数列的前项和.

19．已知椭圆的离心率为，以椭圆的短轴为直径的圆与直线相切.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆过右焦点的弦为、过原点的弦为，若，求证：为定值.

20．已知函数，，且曲线与在处有相同的切线.

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求证：在上恒成立；

（Ⅲ）当时，求方程在区间内实根的个数.

和平区2017—2018学年度第一学期高三年级数学（理）学科

期末质量调查试卷参考答案

一、选择题

1-4:CABD 5-8:BDAC

二、填空题

9． 10．60 11．

12．-1 13．4 14．480

三、解答题

15．解：（Ⅰ）由及正弦定理，得.

∵，

∴.

由余弦定理，得

.

（Ⅱ）由已知，，得.

∵在中，为锐角，且，

∴.

∴.

由，及公式，

∴的面积.

16．解：（Ⅰ）记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件，

则事件“甲同学进入复赛的”表示为.

∵与互斥，且彼此独立，

∴

.

（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.

，

，

，

.

所以，随机变量的分布列为

数学期望.

17．（Ⅰ）证明：∵平面，平面，

∴.

∵，，

∴平面.

∵平面，

∴.

∵，为的中点，

∴.

∵，

∴平面.

（Ⅱ）证明：依题意，平面，，如图，

以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.

可得，，，，，，.

∵平面的一个法向量，，

∴，即.

∵平面，

∴平面.

（Ⅲ）解：设平面的法向量为，则，.

由，，得

令，得，，即.

设与平面所成角为，

∵，

∴

.

∴与平面所成角的正弦值为.

18．解：（Ⅰ）设数列的公差为，数列的公比为，

由，得，，

由，，得，，

∴.

∴的通项公式，的通项公式.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，

故.

则.

令，①

则，②

由②-①，得.

∴.

19．解：（Ⅰ）依题意，原点到直线的距离为，

则有.

由，得.

∴椭圆的方程为.

（Ⅱ）证明：（1）当直线的斜率不存在时，易求，，

则.

（2）当直线的斜率存在时，

设直线的斜率为，依题意，

则直线的方程为，直线的方程为.

设，，，，

由得，

则，，

.

由整理得，则.

.

∴.

综合（1）（2），为定值.

20．解：（Ⅰ）∵，，，

∴.

∵，，

∴，.

∵，即，

∴.

（Ⅱ）证明：设，

.

令，则有.

当变化时，的变化情况如下表：

∴，即在上恒成立.

（Ⅲ）设，其中，

.

令，则有.

当变化时，的变化情况如下表：

∴.

，

设，其中，则，

∴在内单调递减，，

∴，故，而.

结合函数的图象，可知在区间内有两个零点，

∴方程在区间内实根的个数为2.