天津市和平区2018届高三上学期期末考试数学（文）

天津市和平区2018届高三上学期期末考试

数学（文）试题

第Ⅰ卷（共40分）

一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，则（ ）

A．B．

C．D．

2．“”是“关于的方程有实数根”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）

A．9 B．7 C．-3 D．-7

4．已知直线为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率是（ ）

A．B．C．D．

5．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为（ ）

A．56 B．72 C．84 D．90

6．将函数的图象向右平移个单位，得到图象对应的解析式为（ ）

A．B．

C．D．

7．如图，正方形的边长为2，为的中点，，则的值为（ ）

A．B．C．D．

8．已知函数若始终存在实数，使得函数的零点不唯一，则的取值范围是（ ）

A．B．C．D．

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）

9．已知是虚数单位，则复数．

10．某校高中共有720人，其中理科生480人，文科生240人，现采用分层抽样的方法从中抽取90名学生参加调研，则抽取理科生的人数 ．

11．一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．

12．已知函数，若，则的值为

13．已知，则的最小值为 ．

14．已知数列的通项，若数列的前项和为，则．（用数字作答）

三、解答题 （本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15．在中，角所对的边分别是，且.

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）若，，求的面积.

16．某企业生产一种产品，质量测试分为：指标不小于90为一等品，不小于80小于90为二等品，小于80为三等品，每件一等品盈利50元，每件二等品盈利30元，每件三等品亏损10元.现对学徒工甲和正式工人乙生产的产品各100件的检测结果统计如下：

根据上表统计得到甲、乙生产产品等级的频率分别估计为他们生产产品等级的概率.

（Ⅰ）求出甲生产三等品的概率；

（Ⅱ）求出乙生产一件产品，盈利不小于30元的概率；

（Ⅲ）若甲、乙一天生产产品分别为30件和40件，估计甲、乙两人一天共为企业创收多少元？

17．如图，在五面体中，四边形是矩形，，，，，为的中点，为线段上一点，且.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）求证：平面平面.

18．已知是等差数列，是等比数列，其中，，.

（Ⅰ）求数列与的通项公式；

（Ⅱ）记，求数列的前项和.

19．已知椭圆的离心率为，以椭圆的短轴为直径的圆与直线相切.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆过右焦点的弦为、过原点的弦为，若，求证：为定值.

20．已知函数，，且曲线与在处有相同的切线.

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求证：在上恒成立；

（Ⅲ）当时，求方程在区间内实根的个数.

和平区2017—2018学年度第一学期高三年级数学（文）学科

期末质量调查试卷参考答案

一、选择题

1-4:CABD 5-8:BDAC

二、填空题

9． 10．60 11．

12．-1 13．4 14．480

三、解答题

15．解：（Ⅰ）由及正弦定理，得.

∵，

∴.

由余弦定理，得

.

（Ⅱ）由已知，，得.

∵在中，为锐角，且，

∴.

∴.

由，及公式，

∴的面积.

16．解：（Ⅰ）依题意，甲生产三等品，即为测试指标小于80，

所求概率为：.

（Ⅱ）依题意，乙生产一件产品，盈利不小于30元，即为测试指标不小于80，

所求概率为：.

（Ⅲ）甲一天生产30件产品，其中：

三等品的件数为，

二等品的件数为，

一等品的件数为；

乙一天生产40件产品，其中：

三等品的件数为，

二等品的件数为，

一等品的件数为.

则.

∴估计甲、乙两人一天共为企业创收2000元.

17．证明：（Ⅰ）连接交于点，则为的中点，连接.

∵在中，为的中点，为的中点.

∴.

∵平面，平面，

∴平面.

（Ⅱ）连接.

∵四边形是矩形，，

∴，且.

∵，，，

∴.

∵，，

∴.

∴四边形是平行四边形.

∴，.

∵在中，，，，

∴.

∵在中，，，，

∴是直角三角形.

∴.

∴.

（Ⅲ）∵在中，，

∴为等边三角形.

∵为的中点，

∴.

同理，由为等边三角形，可得.

∵，

∴平面.

∵平面，

∴平面平面.

18．解：（Ⅰ）设数列的公差为，数列的公比为，

由，得，，

由，，得，，

∴.

∴的通项公式，的通项公式.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，

故.

则.

令，①

则，②

由②-①，得.

∴.

19．解：（Ⅰ）依题意，原点到直线的距离为，

则有.

由，得.

∴椭圆的方程为.

（Ⅱ）证明：（1）当直线的斜率不存在时，易求，，

则.

（2）当直线的斜率存在时，

设直线的斜率为，依题意，

则直线的方程为，直线的方程为.

设，，，，

由得，

则，，

.

由整理得，则.

.

∴.

综合（1）（2），为定值.

20．解：（Ⅰ）∵，，，

∴.

∵，，

∴，.

∵，即，

∴.

（Ⅱ）证明：设，

.

令，则有.

当变化时，的变化情况如下表：

∴，即在上恒成立.

（Ⅲ）设，其中，

.

令，则有.

当变化时，的变化情况如下表：

∴.

，

设，其中，则，

∴在内单调递减，，

∴，故，而.

结合函数的图象，可知在区间内有两个零点，

∴方程在区间内实根的个数为2.