天津市十二重点中学（耀华中学天津一中等）2018届高三毕业班联考（一）数学理

2018年天津市十二重点中学高三毕业班联考（一）

数 学(理)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．

第Ⅰ卷 选择题(共40分)

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；

参考公式：·如果事件、互斥，那么

柱体的体积公式. 其中表示柱体的底面积,表示柱体的高.

1. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．

1. 设集合，则（ ）

1. B.C.D.

2.设变量满足线性约束条件，

则的取值范围是（ ）

1. B.C.D.

3. 阅读如图所示的程序框图，则输出的数据为（ ）

A．21 B．58 C．141 D．318

4. 设条件：函数在上单调递增，条件：存在使得不等式成立，则是的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5. 函数的部分图像如图所示，为了得到的图像，只需将函数的图象（ ）

1. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度

C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度

6. 已知定义在R上的函数的图像关于对称，且当时，单调递减，若则的大小关系是（ ）

A．B．

C．D．

7. 设为双曲线上一点，分别为双曲线的左、右焦点，，若的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则双曲线的离心率为（ ）

1. B. C. 2或3 D. 或

8．已知函数，若方程恰有2个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）

A．B．

C．D．

第Ⅱ卷 非选择题(共110分)

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.

9．为虚数单位，已知复数的实部与虚部相等，那么实数_______.

10. 如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是________.

11．在平面直角坐标系中，已知抛物线（为参数）的焦点为，动点在抛物线上.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,动点在圆上，则的最小值为__________．

12. 已知，则的最小值为 .

13. 在等腰梯形中，∥,，若

则=_______.

14. 用0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位偶数，要求奇数不相邻，且0不与另外两个偶数相邻，这样的五位数一共有_______个.（用数字作答）

三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）已知函数

1. 求的单调递增区间；
2. 设的内角的对边分别为，且，若，求的面积．

16．（本小题满分13分）2018年2月25日，平昌冬奥会闭幕式上的“北京8分钟”惊艳了世界。我们学校为了让我们更好的了解奥运，了解新时代祖国的科技发展，在高二年级举办了一次知识问答比赛。比赛共设三关，第一、二关各有两个问题，两个问题全答对，可进入下一关；第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功。每过一关可一次性获得分别为1、2、3分的积分奖励，高二、一班对三关中每个问题回答正确的概率依次为，且每个问题回答正确与否相互独立。

（1）记表示事件“高二、一班未闯到第三关”，求的值；

（2）记X表示高二、一班所获得的积分总数，求X的分布列和期望。

17．（本小题满分13分）如图,是边长为的正方形，，，,,.

(Ⅰ)求证：；

(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

18．（本小题满分13分）已知等比数列的前项和为，满足,，数列满足，，且.

（1）求数列,的通项公式；

（2）设，为的前项和，求

19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆的左右顶点分别是，离心率为，设点，连接交椭圆于点，坐标原点是．

（1）证明：；

（2）设三角形的面积为，四边形的面积为，

若的最小值为1，求椭圆的标准方程．

20．（本小题满分14分）已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若不等式对任意的正实数都成立，求实数的最大整数；

（3）当时，若存在实数

求证：

2018年天津市十二重点中学高三毕业班联考（一）

数学理科参考答案

一、选择题:每小题5分，满分40分

二、填空题:每小题5分，共30分.

9.；10.；11.；12.；13.；14..

三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

1. 
   由，
   得
   ∴函数的单调递增区间为.
2. 由，得， ………………………………6分

， ……………………………………7分

……………………………………………………………..8分

. ……………………………………………………………..9分

又,由正弦定理得①; ……………………………………10分

由余弦定理得，

即，② ……………………………………………………………..11分

由①②解得. ……………………………………………………………..12分

………………………………………………………13分

（注：结果正确，但没写单调区间扣1分）

16．（本小题满分13分）

（1）方法一、令表示事件“高二、一班闯过第一关”，表示事件“高二、一班闯过第二关”，

-------------------------2分

-------------------------4分

则；-------------------------5分

方法二、

（2）随机变量X的取值为：0，1，3，6,则 -------------------------6分

， -------------------------7分 , -------------------------8分

, ----------------9分

, --------------------10分

X	0	1	3	6
P

------------------------11分

． ------------------------13分

17．（本小题满分13分）

解：(Ⅰ)证明：因为，

所以. ……………………2分

所以

又因为是正方形，

所以，

从而平面. ……………………3分

又因为

所以……………………4分

(Ⅱ)解：因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示.

则，，，，，………… 5分，，

设平面的法向量为，

,即，

则……………………6分

所以. …………7分

所以直线与平面所成角的正弦值为. ………………8分

(Ⅲ)解：点在线段上，设，. ……………………9分

则，

设平面的法向量为，则

,即，

令

则……………………10分

………11分

整理得：

解得：， ……………………12分

此时. ……………………13分

18．（本小题满分13分）

解：（1）-------------------------1分

-------------------------2分

又,

-------------------------3分

由两边同除以，

得， -------------------------4分

从而数列为首项，公差的等差数列，所以，

从而数列的通项公式为． -------------------------5分

(2)由（1）知------------6分

所以

-------------------------8分

设，

则， -------------------------9分

两式相减得，-------------------------10分

整理得， -------------------------12分

所以. -------------------------13分

19．（本小题满分14分）

解：（1）由得，

∴，即，∴椭圆的方程为 ， --------------------1分

由，整理得：

---------------------------------2分

由可得， --------------------------------4分

则点的坐标是， -------------------------------------5分

故直线的斜率为， -------------------------------------6分

由于直线的斜率为， -------------------------------------7分

所以，所以. ---------------------------------8分

（2）由（1）知，--------------------------9分

， --------------------------------10分

---------------------------------11分

所以当时，-------------------------------------12分

-------------------------------------13分

所以椭圆方程为-----------------------------------14分

20．（本小题满分14分）

解：（1）当时，

当时，，

所以函数在区间上为减函数. ------------------------------------1分

当时，

令------------------------------------2分

当时，；当时，

所以函数在区间上为减函数，在区间上为增函数. --------3分

且

综上，的单调减区间为，单调增区间为. ------------4分

（2）由可得对任意的正实数都成立，

即对任意的正实数都成立.

记，则------------------------------------5分

可得

令

所以在上为增函数，即在上为增函数. ----------------6分

又因为,

所以存在唯一零点，记为-----------------7分

当时，，当时，

所以在区间上为减函数，在区间上为增函数.

所以的最小值为. ------------------------------------8分

所以，可得.

又因为

所以实数的最大整数为2. ------------------------------------9分

(3)由题意，（）

令， 由题意可得，,

当时，；当时，

所以函数在上为减函数，在上为增函数. ----------------10分

若存在实数，，则介于之间，

不妨设，

因为在上单减，在上单增，且, ------11分

所以当时，，

由，可得，故， -----12分

又在上单调递减，且，所以.

所以，同理. ------------------------------------13分

,解得

所以. -----------------------------------14分