天津市红桥区重点中学八校2017届高三4月联考数学（理）试卷

高三年级八校联考 理科数学 试卷（2017.4）

本试卷分第І卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．

第І卷(选择题 共40分)

一．选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填涂在答题卡上!)

1. 设是实数，且是实数，则=（ ）
   1. B.1C.D.-1
2. 若某程序框图如图，则该程序运行后输出的值是
   （ ）
   A.7 B.8
   C.9 D.10
   3．设变量满足，则目标函数的最小值为（ ）
   A.2 B. 3
   C. 4 D. 5
   4．设则""是""的（ ）

   充分而不必要条件	B.必要而不充分条件
   C.充要条件	D.既不充分也不必要条件

   
   5．在中，内角所对的边分别是，若，，则的面积是（ ）
   1. B.C.D.

6．如图，网格纸上的小正方形的边长为1， 粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）

A.B.C. D .

7．为双曲线的右支上一点，，分别是圆

和上的点，则的最大值为（　　 ）

Ａ．B．C．D．

8．已知定义在上的函数，以下说法正确的是（ ）

①函数的图像是中心对称图形

②函数有两个极值

③函数零点个数最多为三个

④当时，若，则

A.①④B.②④C.①③D.②③

二．填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题纸上!)

9．已知集合，，则集合 

10．在的展开式中的常数项为

11．由曲线与所围成的封闭图形的面积是________

12．在以为极点的极坐标系中，曲线和直线相交于两点.若是等边三角形，则的值为_________

13．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是 

14．已知定义在R上的函数，若关于的方程有三个不等的实数解，设，则的取值范围是_________

三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．并将答案写在答题纸上!)

15．(本小题满分13分)资*源%库

已知函数，其图象上相邻的两条对称轴之间的距离为，

（Ⅰ）求在区间上的单调区间；

（Ⅱ）若，，求的值。

16．(本小题满分13分)

质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别刻着数字1，2，3，4，将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上。

（1）求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积为偶数且不能被4整除的概率；

（2）设为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，求的分布列及期望E.

17．(本小题满分13分)

如图，三棱柱中，，，，为的中点。

（1）求证：//面；

（2）若，求二面角的余弦值；

（3）若在线段上存在点，使得，试求的长．

18． (本小题满分13分)

设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.

（1）确定的取值范围，并求直线AB的方程；

（2）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.

资*源%库

19．(本小题满分14分)

在数列中，，其前n项和满足关系式

(1)求证：数列是等比数列；

（2）设数列的公比为，；

（3）求

$来&源：

20．(本小题满分14分)

设定义在R上的函数，，当时，取极大值，且函数的图象关于原点对称.

（1）求的表达式；

（2）试在函数的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在上；

（3）设，，求证：.

一、选择题

题号	1	2	3	4	5	6	7	8
答案

二、填空题

9．10．11．

12．13．14．

三、解答题

15．(Ⅰ)解：由题知，，所以，．

.

令：　则　

　　　　　　　又因为　　所资*源%库以单减区间为，

单增区间为………………7分

（Ⅱ）已知，

所以，，又，则，

得.

所以，

=.…………………………………………………13分

1. 解：（1）设“与桌面接触的4个面上的4个数的乘积为偶数且不能被4整除”为事件A，则

………………………………………..5分

（2）的分布列为

	0	1	2	3	4
P

服从二项分布，则13分

17．

解：（1）连接B₁C，交BC₁于点O，

则O为B₁C的中点，

D为AC中点，

，

又平面BDC₁，平面BDC_1资*源%库

BDC₁……………………..3分

（2）平面ABC，BCAC，AA₁//CC₁，

面ABC，

则BC平面AC₁，CC₁AC

如图建系，则

设平面C₁DB的法向量为

则

又平面BDC的法向量为

二面角C₁—BD—C的余弦值：…………8分

（3）设， 则

又面BDC₁，

解得

所以AA₁=2．……………….13分

18．(1)设直线AB的方程为

整理得①

设①的两个不同的根，

②

是线段AB的中点，

得

解得k=－1，代入②得，>12，

即的取值范围是（12，+）.

于是，直线AB的方程为………………6分

（2）

代入椭圆方程，整理得③

③的两根，

于是由弦长公式可得

④

将直线AB的方程

得⑤

同理可得⑥

假设在>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为

⑦

于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

故当时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，为半径的圆上……13分

$来&源：

19．

解：（1）由已知，即有

由解得，所以

当

①

②

①－②得

综上所述，知，因此是等比数列；……..5分

（2） 由（1）知

则

所以

因此，是等差数列，且……………9分

（3）

＝

＝

＝…………………..14分

20．

解：（1）∵函数的图象关于原点对称，∴函数是奇函数，

即恒成立，∴，（1分） 由题意得

，（2分）∴∴

经验证满足题意 ∴……………………4分

（2），设所求两点为，，其中，得

因为，

所以或

即为或

从而所求两点的坐标分别为或者；………9分

（3）易知，当时，即在上递减，

得，即.

又，函数在处取极大值，

又，，，

得.

∴………………………14分$来&源：