山东省淄博市淄川中学2018届高三上学期开学考试数学（理）试卷

山东省淄博市淄川中学2018届高三上学期开学考试理科数学试卷

2017年8月

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的

1．设复数z₁=1+2i，z₂=2﹣i，i为虚数单位，则z₁z₂=（　　）

A．4+3iB．4﹣3iC．﹣3iD．3i

2．已知平面向量，满足（+）=5，且||=2，||=1，则向量与的夹角为（　　）

A．B．C．D．

3．下列有关命题的说法中，正确的是（　　）

A．命题“若x²＞1，则x＞1”的否命题为“若x²＞1，则x≤1”

B．命题“若α＞β，则sinα＞sinβ”的逆否命题为真命题

C．命题“∃x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，都有x²+x+1＞0”

D．“x＞1”是“x²+x﹣2＞0”的充分不必要条件

4．若变量x，y满足约束条件，则z=3x+5y的取值范围是（　　）

A．[3，+∞）B．[﹣8，3]C．（﹣∞，9]D．[﹣8，9]

5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问几何日相逢？各穿几何？”，翻译成今天的话是：一只大鼠和一只小鼠分别从的墙两侧面对面打洞，已知第一天两鼠都打了一尺长的洞，以后大鼠每天打的洞长是前一天的2倍，小鼠每天打的洞长是前一天的一半，已知墙厚五尺，问两鼠几天后相见？相见时各打了几尺长的洞？设两鼠x 天后相遇（假设两鼠每天的速度是匀速的），则x=（　　）

A．B．C．D．

6．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（　　）

A．a=11B．a=12C．a=13D．a=14

7．某城市有3 个演习点同时进行消防演习，现将5 个消防队分配到这3 个演习点，若每个演习点至少安排1 个消防队，则不同的分配方案种数为（　　）

A．150B．240C．360D．540

8．某几何体的三视图如图所示（图中网格的边长为1个单位），其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（　　）

A．B．C．D．

9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）图象如图所示，则下列关于函数 f （x）的说法中正确的是（　　）

1. 对称轴方程是x=+kπ（k∈Z）
2. 对称中心坐标是（+kπ，0）（k∈Z）

C．在区间（﹣，）上单调递增

D．在区间（﹣π，﹣）上单调递减

10．设集合A={（x，y）||x|+|y|≤2}，B={（x，y）∈A|y≤x²}，从集合A中随机地取出一个元素P（x，y），则P（x，y）∈B的概率是（　　）

A．B．C．D．

11．已知双曲线C₁：=1，双曲线C₂：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，M 是双曲线C₂一条渐近线上的点，且OM⊥MF₂，若△OMF₂的面积为 16，且双曲线C₁，C₂的离心率相同，则双曲线C₂的实轴长为（　　）

A．4B．8C．16D．32

12．已知定义域为R的函数 f （x）的导函数为f'（x），且满足f'（x）﹣2f （x）＞4，若 f （0）=﹣1，则不等式f（x）+2＞e^2x的解集为（　　）

A．（0，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，﹣1）

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分

13．若展开式中所有二项式系数之和是64，常数项为15，则实数a的值是　 　．

14．若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是　 　．

15．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为　 　．

16．某校学生小王在学习完解三角形的相关知识后，用所学知识测量高为AB 的烟囱的高度．先取与烟囱底部B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BDC=60°，∠BCD=75°，CD=40米，并在点C处的正上方E处观测顶部 A的仰角为30°，且CE=1米，则烟囱高 AB=　 　米．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17．（12分）已知{a_n}为等比数列，a₁=1，a₄=27； S_n为等差数列{b_n} 的前n 项和，b₁=3，S₅=35．

（1）求{a_n}和{b_n} 的通项公式；

（2）设数列{c_n} 满足c_n=a_nb_n（n∈N*），求数列{c_n} 的前n 项和T_n．

18．（12分）微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50 名，其中每天玩微信超过6 小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：

	微信控	非微信控	合计
男性	26	24	50
女性	30	20	50
合计	56	44	100

（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与”性别“有关？

（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5 人并从选出的5 人中再随机抽取3 人赠送200 元的护肤品套装，记这3 人中“微信控”的人数为X，试求X 的分布列与数学期望．

参考公式：，其中n=a+b+c+d．

P（K2≥k0）	0.50	0.40	0.25	0.05	0.025	0.010
k0	0.455	0.708	1.323	3.841	5.024	6.635

19．（12分）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；

（Ⅱ）求证：FC∥平面EAD；

（Ⅲ）求二面角A﹣FC﹣B的余弦值．

20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F₁（﹣1，0），离心率e=．

（1）求椭圆G 的标准方程；

（2）已知直线l₁：y=kx+m₁与椭圆G交于 A，B两点，直线l₂：y=kx+m₂（m₁≠m₂）与椭圆G交于C，D两点，且|AB|=|CD|，如图所示．

①证明：m₁+m₂=0；

②求四边形ABCD 的面积S 的最大值．

21．（12分）知函数f（x）=ax²﹣2x+lnx（a≠0，a∈R）．

（1）判断函数 f （x）的单调性；

（2）若函数 f （x）有两个极值点x₁，x₂，求证：f（x₁）+f（x₂）＜﹣3．

22．（10分）已知直线C₁：（ t 为参数），曲线C₂：（r＞0，θ为参数）．

（1）当r=1时，求C₁与C₂的交点坐标；

（2）点P 为曲线 C₂上一动点，当r=时，求点P 到直线C₁距离最大时点P 的坐标．

---

选择题：12题×5分=60分（每题5分）

1．A．2．B．3．D．4.D．5．C．6．B．7.A．8.B 9 D 10、B 11.C 12.A

填空题：4题×5分=20分（每题5分）

13.±114.15. ． 16.20+1

17.（12分）【解答】解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，∵a₁=1，a₄=27；∴1×q³=27，解得q=3．

∴．--------3分

设等差数列{b_n} 的公差为d，∵b₁=3，S₅=35．∴5×3+=35，解得d=2．

∴b_n=3+2（n﹣1）=2n+1．------6分

（2）c_n=a_nb_n=（2n+1）•3^n﹣1．

∴数列{c_n} 的前n 项和T_n=3+5×3+7×3²+…+（2n+1）•3^n﹣1．

3T_n=3×3+5×3²+…+（2n﹣1）•3^n﹣1+（2n+1）•3ⁿ．

∴﹣2T_n=3+2×（3+3²+…+3^n﹣1）﹣（2n+1）•3ⁿ=3+﹣（2n+1）•3ⁿ．-----10分

∴T_n=n•3ⁿ．------12分

18.（12分）【解答】解：（1）由列联表可知，

==≈0.649，---3分

∵0.649＜0.708，

∴没有60%的把握认为“微信控”与”性别“有关；--------4分

（2）依题意知，所抽取的5位女性中“微信控”有3人，

“非微信控”有2人，

∴X的所有可能取值为1，2，3；-------6分

且P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，-------9分

∴X 的分布列为：

X	1	2	3
P（X）

---------10分

X的数学期望为EX=1×+2×+3×=．------------12分

19.（12分）【解答】（Ⅰ）证明：设AC与BD相交于点O，

连接FO．因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，且O为AC中点． …（1分）

又 FA=FC，所以 AC⊥FO． …（3分）

因为 FO∩BD=O，

所以 AC⊥平面BDEF． …（4分）

（Ⅱ）证明：因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，

所以AD∥BC，DE∥BF，

所以 平面FBC∥平面EAD．…（7分）

又FC⊂平面FBC，所以FC∥平面EAD． …（8分）

（Ⅲ）解：因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，

所以△DBF为等边三角形．

因为O为BD中点，所以FO⊥BD，故FO⊥平面ABCD．

由OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz． …（9分）

设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，

则BD=2，所以OB=1，．所以．

所以，．

设平面BFC的法向量为=（x，y，z），

则有，

取x=1，得．

∵平面AFC的法向量为=（0，1，0）． …（11分）

由二面角A﹣FC﹣B是锐角，得|cos＜，＞|==．

所以二面角A﹣FC﹣B的余弦值为．…（12分）

20.（12分）【解答】【解答】解：（1）设椭圆G的方程为（a＞b＞0）

∵左焦点为F₁（﹣1，0），离心率e=．∴c=1，a=，

b²=a²﹣c²=1

椭圆G 的标准方程为：．-------4分

（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）

①证明：由消去y得（1+2k²）x²+4km₁x+2m₁²﹣2=0

，

x₁+x₂=，x₁x₂=；

|AB|==2；

同理|CD|=2，

由|AB|=|CD|得2=2，

∵m₁≠m₂，∴m₁+m₂=0------------8分

②四边形ABCD 是平行四边形，设AB，CD间的距离d=

∵m₁+m₂=0，∴

∴s=|AB|×d=2×

=.

所以当2k²+1=2m₁²时，四边形ABCD 的面积S的最大值为2-------12分

21.（12分）【解答】解：（1）由题意得，函数f（x）的定义域是（0，+∞），

f′（x）=2ax﹣2+=，

令g（x）=2ax²﹣2x+1，△=4﹣8a，

①a≥时，△=4﹣8a≤0，f′（x）≥0恒成立，

则f（x）在（0，+∞）递增；

②a＜时，△=4﹣8a＞0，

由g（x）=0，解得：x₁=，x₂=，

（i）0＜a＜时，0＜x₁＜x₂，

此时f（x）在区间（x₁，x₂）递减，在（0，x₁），（x₂，+∞）递增；

（ii）a＜0时，x₂＜0＜x₁，

此时f（x）在区间（x₁，+∞）递减，在（0，x₁）递增，

∴a≥时，f（x）在（0，+∞）递增，

0＜a＜时，f（x）在区间（x₁，x₂）递减，在（0，x₁），（x₂，+∞）递增，

a＜0时，f（x）在区间（x₁，+∞）递减，在（0，x₁）递增；------------6分

（2）证明：由（1）得0＜a＜时，函数f（x）有2个极值点x₁，x₂，

且x₁+x₂=，x₁x₂=，

∴f（x₁）+f（x₂）=﹣（lna+）﹣（1+ln2），

令h（a）=﹣（lna+）﹣（1+ln2），（0＜a＜），

则h′（a）=﹣（﹣）=＞0，

∴h（a）在（0，）递增，

则h（a）＜h（）=﹣（ln+2）﹣（1+ln2）=﹣3，

即f（x₁）+f（x₂）＜﹣3．-------6分

22.（10分）【解答】解：（1）直线C₁：（ t 为参数）的普通方程为y=x﹣1，当r=1时，曲线C₂：（r＞0，θ为参数）的普通方程为x²+y²=1．

联立方程，可得C₁与C₂的交点坐标为（1，0），（0，﹣1）；--------4分

（2）设P（），则点P 到直线C₁距离d==

当cos（θ+）=﹣1，即θ=+2kπ（k∈Z）时，d_max=，此时P（﹣1，1）．

---------10分