山西省晋中市四校联考2015-2016学年高三上学期期中考试数学（理科）试卷

2015-2016学年度“晋商四校”高三联考

数学试卷（理科）

本试卷满分150分 考试时间120分钟

一．选择题（5×12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答题卡的相应位置上）

1. 已知集合，则集合中元素的个数为（ ）
   A．1 B．2 C．3 D．4
2. 设向量=，=，则“”是“//”的（   ）
   A．既不充分也不必要条件B．必要而不充分条件
   C．充分必要条件D．充分而不必要条件
   3.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
   A．B.C.D.
   4. 下列命题错误的是（    ）
   A．命题“”的逆否命题是“若或，则”
   B．“”是””的充分不必要条件
   C．命题“或”为真命题，则命题“”和命题“”均为真命题
   D．命题：存在,使得，则：任意,都有
   5．使为奇函数，且在上是减函数的的一个值是（ ）
   ....
   6.为了得到函数的图像，只需把函数的图像( )
   ．向左平移个长度单位．向右平移个长度单位
   ．向左平移个长度单位．向右平移个长度单位
   7．已知非零向量，满足，则与的夹角为（ ）
   ....
   8．已知正实数,满足不等式,则函数的图象可能为（ ）
   9. 若，，均为单位向量，且，则的最大值是（   ）
   A．1B．C．D．
   10. 等比数列{}的前n项和为，若（ ） ．．．．
   11．已知函数的图像关于直线对称，且当时，成立，,,，则的大小关系是（   ）
   A．B．C．D．
   12.已知点是在△ABC内部一点，且满足，则三角形△AOB，△BOC，△AOC的面积之比依次为（  ）
   A．4:2:3B．2:3:4 C． 4:3:2 D．3:4:5
   第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
   二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
   13．已知，且与垂直，则实数的值为 .
   14.已知.
   15.已知，则函数的零点的个数为_______.
   16．已知定义在上的奇函数满足，数列的前项和为，且，则.
   三、解答题(本大题6小题共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)
   17．（本小题10分）已知：实数满足，其中，
   （1）若，且为真，求实数的取值范围.
   （2）若的充分不必要条件，求实数的取值范围.
   18．（本小题12分）已知函数．
   （1）求函数的最小正周期；
   （2）求函数在区间上的最大值和最小值及取得最值时相应的值．
   19．（本小题12分）已知满足.
   （1）将表示为的函数，并求的单调递增区间；
   （2）已知三个内角、、的对边分别为、、，若，且，求面积的最大值．
   20.（本小题12分）
   已知数列满足递推式，其中
   （1）求数列的通项公式；
   （2）已知数列,有，求数列的前n项和.
   21.（本小题12分）已知函数.
   1. 若上存在极值点,求实数的取值范围；
   2. 当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.

22.（本小题12分）已知函数，

（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；

（2）令，是否存在实数，当（是自然常数）时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

（3）当时，证明：

2015—2016学年度“晋商四校”高三联考

数学参考答案与评分标准（理科）

一．选择题

B A A

二、填空题

13．14. 15． 3 16．

三、解答题(本大题6小题共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)

17．（本小题10分）

解：（1）由

当……2分

由…4分

若为真，则真且真，所以实数的取值范围是 ………… 6分

（2）………………9分

由的充分不必要条件，有

故实数的取值范围是………………12分

18（本小题12分）

（1）

……4分

∴………………6分

（2）∵，∴,∴，∴………………8分

当，即时，………………10分

当，即时，………………12分

19．（本小题12分）

解：（1）

所以，……………3分

令，得

的单调递增区间是………………6分

（2）又

……………8分

在中由余弦定理有,

可知(当且仅当时取等号),

即面积的最大值为………………12分

20．（本小题12分）

（1）∵，∴………2分，

∴且，∴数列{}是公比为2的等比数列………………4分∴，∴即数列的通项公式为………………6分

（2）由（1）知， ∴ =………………8分

∴①

， ②

①-②得，

∴，整理得.………………12分 

21.（本小题12分）

解: (1)当时,有………………2分

；，

所以在上单调递增，在上单调递减，函数在处取得唯一的极值.

由题意得，解得实数的取值范围为 ……… 5分

（2）当

令， 由题意，恒成立，

…………9分

令.

所以，，

因此，，

所以……………12分

22.（本小题12分）