山西省忻州市第一中学2015届高三上学期期末考试数学（理）试题

命题人：李德亭　　侯毅

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．已知集合M={yR∣y=x²}，N={xR∣x²+ y²=2}，则M∩N = ( )

A．{(-1,1),(1,1)} B．{1}C．[0,1]D．[0,]

2．复数2+ i的实部与复数1-2i的虚部的和为 （ ）

A．0B．2-2iC．3-iD．1+3i

3．右面程序框图表示的算法是：求1+2+3+4+…+n>20时n的最小值，则输出框中应填 （ ）

A．i

B．i+1

C．i -1

D．n

x	0	1	2	3
y	m	3	5.5	7

4．已知x与y之间的一组数据：

已求得关于y与x的线性回归方程为＝2.1x＋0.85，则m的值为 （ ）

A．1 B．0.85 C．0.7 D．0.5

5．已知对于正项数列{a_n}满足a_m+n=a_ma_n(m,nN^*)，若a₂=9，则log₃a₁+log₃a₂+……+

log₃a₁₂ = （ ）

A．40B．66C．78D．156

6．函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（　　）

A．B．C．0D．

7．设a>0，b>1，若a+b=2，则+的最小值为 （ ）

A．3+2 B．6 C. 4 D. 2

8．函数f(x)＝的图象大致为 （ ）

9．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为，++=，则向量 在方向上的投影为 （ ）

A． B．3 C． D． 3

10．已知点P(x，y)在直线x+2y=3上移动，当2^x+4^y取最小值时，过点P(x，y)引圆C：(x-)²+(y+)²=1的切线，则此切线长等于 （　　）

A．1 B. C. D．2

11．已知、是双曲线的上、下焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为 ( )

A．3B.C．2D.

12．已知函数f(x)=，若函数y=f(x)+x有且只有一个零点，则实数a的取值范围是 （ ）

1. (-∞,-1] B. (-∞,-1) C. (-1,+∞) D. [-1,+∞)

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二、填空题（每小题5分，共20分）

13．(+)¹²展开式中有理项共有　 　项．

14．已知tanα=，tanβ=﹣，且0＜α＜，＜β＜π，则2α﹣β的值　 　．

15．已知下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为________.

16．已知函数f(x)＝x³＋sinx，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为________．

三、解答题（共70分）

17．（本小题满分12分）已知A,B分别在射线CM,CN（不含端点C）上运动，∠MCN=

π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．

（1）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；

（2）若c=，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，

并求周长的最大值．

18．（本小题满分12分）在一次对某班42名学生参加课外篮球、排球兴趣小组（每人参加且只参加一个兴趣小组）情况调查中，经统计得到如下2×2列联表：（单位：人）

	篮球	排球	总计
男同学	16	6	22
女同学	8	12	20
总计	24	18	42

（Ⅰ）据此判断是否有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关？

（Ⅱ）在统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从两个兴趣小组中随机抽取7名同学进行座谈．已知甲、乙、丙三人都参加“排球小组”．

①求在甲被抽中的条件下，乙丙也都被抽中的概率；

②设乙、丙两人中被抽中的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．

下面临界值表供参考：

	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

参考公式：

19．（本小题满分12分）如图，三棱柱的侧棱底面，，是棱上动点，是中点，，，。

（1）若是棱中点时，求证：∥平面；

（2）若二面角的余弦值是，求的长.

20.（本小题满分12分）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F（1，0），且

点（﹣1，）在椭圆C上．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得·=恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分12分）已知函数

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）证明：.

22．选修41：几何证明选讲（本小题满分10分)

如图AB是⊙O的弦，C、F是⊙O上的点，OC垂直于弦AB，过F点作⊙O的切线交AB的延长线于D，连结CF交AB于E点．

（I）求证：DE²=DBDA；

（II）若BE=1，DE=2AE，求DF的长．

23．选修4-4:坐标系与参数方程（本小题满分10分)

极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴.己知曲线C₁的极坐标方程为ρ=4cosθ曲线C₂的参数方程是（t为参数，0≤α<π），射线θ=φ,θ=φ+,,θ=φ-(<φ<)与曲线C₁交于极点O外的三点A,B,C.

(I)求证：∣OB∣+∣OC∣=∣OA∣；

(II)当φ=时，B,C两点在曲线C₂上，求m与α的值.

24．选修：不等式选讲（本小题满分10分）

设f(x)=∣x-a∣,a∈R

（I）当-1≤x≤3时，f(x) ≤3,求a的取值范围；

（II）若对任意x∈R，f(x-a)+f(x+a)≥1-2a恒成立，求实数a的最小值．

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忻州一中20142015学年度第一学期期末考试

高三　数学试题（理科）

命题人：李德亭　　侯毅

二、填空题（每小题5分，共20分）

三、解答题（共70分）

17解：（1）∵、、成等差，且公差为2，

、. 又∵，∴，

，， ……（4分）

恒等变形得，解得或.又∵，. ……（6分）

（2）在中，，

，

，

. ……（8分）

的周长

， ……（10分）

又∵，,

当即时，取得最大值． ……（12分）

18. 【 解析】

（Ⅰ）由表中数据得K²的观测值

k≈4.582>3.841. ……2分

所以，据此统计有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关．……4分

（Ⅱ）①由题可知在“排球小组”的18位同学中，要选取3位同学．

方法一：令事件A为“甲被抽到”；事件B为“乙丙被抽到”，则

P(A∩B)，P(A).

所以P(B|A). ……7分

方法二：令事件C为“在甲被抽到的条件下，乙丙也被抽到”，

则P(C).

②由题知X的可能值为0，1，2.

依题意P(X0)；P(X1)；P(X2).

从而X的分布列为

X	0	1	2
P

……10分

于是E(X)0×＋1×＋2×=. ……12分

（2）解：以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则7分 设平面的法向量

则， 得

8分

平面

是平面的法向量，则平面的法向量10分的平面角的余弦值为，

则

解得

12分

20. 【 解析】（1）由题意， c=1

∵点（﹣1，）在椭圆C上，∴根据椭圆的定义可得：2a=，∴a=

∴b²=a²﹣c²=1，

∴椭圆C的标准方程为；

（2）假设x轴上存在点Q（m，0），使得恒成立

当直线l的斜率为0时，A（，0），B（﹣，0），则=﹣，∴，∴m=①

当直线l的斜率不存在时，，，则•=﹣，∴

∴m=或m=②

由①②可得m=．

下面证明m=时，恒成立

当直线l的斜率为0时，结论成立；

当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

直线方程代入椭圆方程，整理可得（t²+2）y²+2ty﹣1=0，∴y₁+y₂=﹣，y₁y₂=﹣

∴=（x₁﹣，y₁）•（x₂﹣，y₂）=（ty₁﹣）（ty₂﹣）+y₁y₂=（t²+1）y₁y₂﹣t（y₁+y₂）+=+=﹣

综上，x轴上存在点Q（，0），使得·= 恒成立.

21.解：（1），设则，且上单调递增。

当时，从而单调递减；

当从而单调递增。

因此，上单调递减，在上单调递增。6分

（2）原不等式就是

即，

令则

在上单调递增。当时，当时

，所以当且时，分

∴DE=DF，∵DF是⊙O的切线，

……6分

（II）设AE=x，则DE=2x，DF=2x，

解得2x=3，∴DF的长为3．　　　…10分

23解：（1）依题意，

2分

则

5分

（2）当时，两点的极坐标分别为

化为直角坐标为7分

是经过点倾斜角为的直线，

又经过的直线方程为9分

所以10分