广东省兴宁市兴宁第一中学2015届高三上学期期中考试数学（理）试卷

兴宁一中高三年级中段考试数学（理科）试题2014.10

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.若集合，，则(　　)

A．{1} B．{－1} C．{5，－1} D． {1，－1}

2.已知向量，，则(　　)

A．1 B. C．2 D．4

3.已知函数若，则实数等于(　　)

1. B. C．2 D．9

4.如图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为(　　)

A．12 B．24 C．36 D．72

5.已知，且，则的值为(　　)

A．　 B．C.　 D.

6.已知为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是(　　)

A.B.

C.D.

7.把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将图

象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为(　　)

A．　 B．　 C．D．

8.设函数，对任意，恒成立，则实数的

取值范围是（ ）

A.B.C.D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．

9. 函数的定义域为____________．

10.若直线过圆的圆心，则实数的值为_______．

11.若，则.

12.已知函数，若函数的图象在处的切线方程为

，则的值是____________．

13.在平行四边形中，已知，，，为的中点，

则____________．

14.已知函数与的图像上存在关于轴

对称的点，则实数的取值范围是 .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

15.（12分）在锐角△中，，，分别是角，，的对边，且.

（1）求角的大小；

（2）若，且△的面积为，求的值.

16.（12分）已知函数在时取得最大值.

（1）求的最小正周期；

（2）求的解析式；

（3）若，，求的值．

17.（本小题满分14分）

如图1,直角梯形中，，，分别是上的点，且，为中点，将四边形沿折起到如图2所示的位置，使得，连接、、得图2所示六面体.

（1）求证：丄平面；

（2）求二面角的余弦值.

18.（本小题满分14分）

已知圆：与直线：.

（1）若直线与圆没有公共点，求实数的取值范围；

（2）若直线与圆相交于，两点，为原点，且，求实数的值．

19.（本小题满分14分）

已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）讨论的单调性．

20.（本小题满分14分）

已知函数．

（1）若函数在区间上存在极值点，求实数的取值范围；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证：．（，为自然对数的底数）.

一、选择题

二、填空题

9.10.11.12.13.14.

三、解答题

15. 解：（1），由正弦定理得.…………3分

是锐角，，.……………6分

（2）由已知得，△的面积，.…………8分

由余弦定理得，…………10分

，. ……………12分

16.解：（1）∵函数表达式为：，

∴，可得的最小正周期为. ……………2分

1. ∵在时取得最大值2,∴， ……………3分
   且时，即，即，
   ∵，∴取，得， ……………5分
   ∴的解析式是. ……………6分
   （3）由(2)得，
   即，可得， ……………7分
   ∵，∴， ……………8分
   ∴， ……………9分
   ……………10分
   ∴………12分
   17.证明：（1）分别是上的两点，四边形为矩形
   折叠后，FC、BF为面BFC上两条相交直线 即平面连接
   由已知得, GF、GC为面CFG上两条相交直线
   平面…………………………6分
   （2）由（1）知
   EG、EF为面ABFE上两条相交直线
   平面,………………………………………8分
   方法一：如图建系则A（1,0,2）C（0,2,0）D（0,1,2）
   设=为平面ACD的法向量，
   得．则令得…………………11分
   又为平面CDEF的法向量，设二面角为，则，即，故二面角的余弦值为. …………………14分
   方法二：延长与的延长线交于点，过作垂足为点，
   连结、，平面，平面，
   ，又，，
   平面，而平面，.
   又，，平面，
   而平面，，
   则为二面角的平面角， ……………11分
   设二面角为，由=1，得=2，则=，
   即
   所以二面角的余弦值为. ……………14分
   18.解：(1)将圆方程配方得故有得……………2分
   将直线的方程与圆C的方程联立得
   消去y，整理得 ① ……………4分
   因为直线l与圆没有公共点，
   所以方程①无解，故有，解得.……………6分
   所以m的取值范围是.……………7分
2. 设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，由OP⊥OQ，得·＝0，即x₁·x₂＋y₁·y₂＝0.② ……………8分

由(1)及根与系数的关系得x₁＋x₂＝－2，x₁·x₂＝.③ ……………9分

又因为点P，Q在直线x＋2y－3＝0上，所以y₁·y₂＝·＝[9－3(x₁＋x₂)＋x₁·x₂]．

将③代入上式，得y₁·y₂＝.④ ……………11分

将③④代入②得x₁·x₂＋y₁·y₂＝＋＝0，解得m＝3 .……………13分代入方程①检验得Δ>0成立，所以m＝3 .……………14分

（此题第一、二小节均可用几何法，请同样给分）

19.解：(1)当k＝2时，f(x)＝ln(1＋x)－x＋x²，f′(x)＝－1＋2x. 由于f(1)＝ln2，f′(1)＝，

则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－ln2＝(x－1)即3x－2y＋2ln2－3＝0 ……4分

(2)f′(x)＝，x∈(－1，＋∞)． ……………5分 当k＝0时，f′(x)＝－.

所以，在区间(－1,0)上，f′(x)>0；在区间(0，＋∞)上，f′(x)<0.

故f(x)的单调递增区间是(－1,0)，单调递减区间是(0，＋∞)． ……………7分

当0<k<1时，由f′(x)＝＝0，得x₁＝0，x₂＝>0.

所以，在区间(－1,0)和上，f′(x)>0；在区间上，f′(x)<0；

故f(x)的单调递增区间是(－1,0)和，单调递减区间是.…………10分

当k＝1时，f′(x)＝>0，故f(x)的单调递增区间是(－1，＋∞)． ……………12分

当k>1时，由f′(x)＝＝0，得x₁＝∈(－1,0)，x₂＝0.

所以，在区间和(0，＋∞)上，f′(x)>0；在区间上，f′(x)<0.

故f(x)的单调递增区间是和(0，＋∞)，单调递减区间是.………14分

20.解（1）函数定义域为，，

由，当时，，当时，，

则在上单增，在上单减，函数在处取得唯一的极值。

由题意得，故所求实数的取值范围为………4分

(2) 当时，不等式．

令，由题意，在恒成立。 ………6分

………7分

令，则，当且仅当时取等号。 ………8分

所以在上单调递增，

因此，则在上单调递增，所以，即实数的取值范围为………10分

（3）由（2）知，当时，不等式恒成立，

即，

令，则有．……12分

分别令，则有，

将这个不等式左右两边分别相加，则得

故，从而．…14分