广东省佛山市顺德一中、顺德李兆基中学、顺德实验学校等六校2016届高三上学期期中考试数学理试卷

2015—2016学年度第一学期中考试高三数学（理科）试卷

命题人：李兴习 审题人：杨罡

一、单项选择题：(每小题5分，共60分)

1.已知集合，，下列结论成立的是

A．B．C．D．

2.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是

1. B.C.D.
   3.已知平面向量，，若，则等于
   A．B．C．D．
   4.在△ABC中，∠A＝，AB＝2，且△ABC的面积为，则边AC的长为
   1. 1　　 B. 　　 C. 2　　 D. 1
      5.等于
      A．1B．C．D．
      6.已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c，下列结论中错误的是
      1. x₀∈R , f(x₀)=0
      2. 函数y=f(x)的图像是中心对称图形
      3. 若x₀是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞ , x₀）单调递减
      4. 若x₀是f（x）的极值点，则
         7.下面能得出△ABC为锐角三角形的条件是
         A．B．
         C．D．
         8.已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记a=,b=,则a,b,c的大小关系为
         A． B. b
         C.D.
         9.已知可导函数y=f(x)在点处切线为（如图），设F(x)=f(x)-g(x),则
         A．的极小值点
         B．的极大值点
         C．的极值点
         D．的极值点
         10.定义：若函数f(x)的图像经过变换T后所得图像对应函数的值域与f(x)的值域相同，则变换T是f(x)的同值变换.下面给出的四个函数及其对应的变换T，其中T不属于f(x)的同值变换的是
         A．，T：将函数f(x)的图像关于y轴对称
   2. ，T：将函数f(x)的图像关于x轴对称
   3. ，T：将函数f(x)的图像关于点（-1,1）对称
   4. ，T：将函数f(x)的图像关于点（-1,0）对称
      11.已知过点（1，2）的二次函数的图象如右图，给出下列论断：①，②,③，④. 其中正确论断是
      A． ①③ B. ②③
      C. ②④ D. ②③④
      12.定义在R上的奇函数满足，且不等式在上恒成立，则函数=的零点的个数为
      1. 4B.3C. 2 D. 1

二、填空题(每小题5分，共20分)

13. 函数的定义域为 ．

14. 已知复数（为虚数单位），计算：．

15. 如图在平行四边形ABCD中,AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若，则λ+μ=______.

16.求值:=_______.

三、解答题(共6小题，满分70分)

17. (本小题满分10分) 等差数列中，

(Ⅰ)求的通项公式；

(Ⅱ)设

18. (本小题满分10分) 已知定义在R上的函数f(x)＝2^x－.

(Ⅰ) 若f(x)＝，求x的值；

(Ⅱ) 若2^tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．

19. (本小题满分12分) 已知向量，，函数．

（Ⅰ）求的最大值，并求取最大值时的取值集合；

（Ⅱ）已知、、分别为内角、、的对边，且，，成等比数列，角为锐角，且，求的值．

20. (本小题满分12分) 某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC,CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA,AD用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A和∠C互补，且AB=BC,

(Ⅰ)设AB=x米，cosA=,求的解析式，并指出x的取值范围;

(Ⅱ) 求四边形ABCD面积的最大值.．

21. (本小题满分12分) 数列{}的前n项和为，．

（Ⅰ）设，证明：数列是等比数列；

(Ⅱ)求数列的前项和T_n,并证明T_n.

22. (本小题满分14分) 已知函数

(Ⅰ)当时，求的极值；

(Ⅱ)若在区间(其中e=2.71 828…)上有且只有一个极值点，求实数的取值范围.

2015—2016学年度第一学期期中考试

高三数学（理科）试卷．答题卷

二、填空题(每小题5分，共20分)

13.　　 　_;　 14.　　 　　 ; 15.　　 ; 16. _________.

三、解答题

17．解：

18.解:

班级__________________ 姓名__________________ 考试号码________________________座位号____________

………○……………密……○……封……○……线……○……内……○……不……○……要……○……答……○……题…………○

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

19．解：

20.解：

21．解：

22．解：

2015—2016学年度第一学期期中考试

高三数学（理科）试卷

参考答案

一、选择题：BDAAC, CDBAB,CB

二、填空题：

13.; 14.; 15.; 16. .

三、解答题

17．解:（I）设等差数列的公差为，则.

因为，所以，解得.

所以的通项公式为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分

（II）因为

所以。。。。。。。。。。。。。。。10分

18.解：(1)当x＜0时，f(x)＝0，无解；

当x≥0时，f(x)＝2^x－，由2^x－＝，

得2·2^2x－3·2^x－2＝0，看成关于2^x的一元二次方程，

解得2^x＝2或2^x＝－，∵2^x＞0，∴x＝1 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分

(2)当t∈[1,2]时，2^t＋m≥0，

即m(2^2t－1)≥－(2^4t－1)，∵2^2t－1＞0，∴m≥－(2^2t＋1)，

∵t∈[1,2]，∴－(2^2t＋1)∈[－17，－5]，

故m的取值范围是[－5，＋∞)． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

19.解：（Ⅰ）

故，此时，得，

∴取最大值时的取值集合为． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

（Ⅱ），，，

，．

由及正弦定理得于是

． .。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

20.解:在ΔABD中，BD²=AB²+AD²-2AB×ADcosA,

同理在ΔCBD中，BD²=CB²+CD²-2CB×CDcosC,

因为∠A和∠C互补，

所以AB²+AD²-2AB×ADcosA= CB²+CD²-2CB×CDcosC= CB²+CD²+2CB×CDcosA

即x²+(9-x)²-2x(9-x)cosA=x²+(5-x)²+2x(5-x)cosA

得cosA=,其中x∈(2,5) 。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分

(2)四边形ABCD的面积S=

===

记g(x)=(x²-4)(x-7)², x∈(2,5)

由g^/(x)=2x(x-7)²+(x²-4)×2(x-7)=2(x-7)(2x²-7x-4)=0,解得x=4(x=7和x=舍去)

所以函数g(x)在区间(2,4)内单调递增，在区间(4,5)内单调递减；

所以g(x)的最大值为g(4)=12×9=108. 。。。。。。。。。。。。。10分

所以S的最大值为.。。。。。。。。。。。。。。。。。。11分

答:所求四边形ABCD面积的最大值为m². 。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

21．解:（I）因为，

所以 ① 当时，，则，

② 当时，，

所以，即，

所以，而，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以．。。。。。。。。。4分

（II）由(1)得.

所以 ①，

②

②-①得：

=

因为T_n-T_n+1=<0

所以数列{T_n}是单调递增数列故，又，故T_n<1

综上，即T_n. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

22.