江苏省扬州市高邮中学2018届高三10月阶段检测数学试卷

江苏省高邮中学高三年级十月份阶段测试数学试卷（必做部分）

2017.10

（考试时间：120分钟 试卷满分：160分）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题纸相应的位置上.

1．设是虚数单位，则复数的虚部为▲．

2．已知集合，若，则实数的取值范围是▲.

3．设，则“”是“”的▲条件．（选填： 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）

4．已知命题：“，使得”，则命题的真假为▲．

5．在平面直角坐标系中，已知双曲线：的一条渐近线与直线垂直，则实数▲．

6．函数的部分图象如图示，则将

的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为▲．

7．如果实数满足不等式组，则最小值为▲．

8．已知是边长为的正边上的动点，则▲.

9．函数在上的单调递减区间是▲．

10．设函数，若的值域为，则常数的取值范围是▲．

11．在中，为中点，，

则▲．

12．已知，则方程的相异实根的个数是▲．

13．已知点是椭圆的左焦点，若椭圆上存在两点、满足，则椭圆的离心率的取值范围是▲．

14．若为正实数，则的最大值为▲．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．

15．（本题满分14分）

已知函数．

⑴求的最小正周期及对称中心；

⑵若，求的最大值和最小值.

16．（本题满分14分）

平面内给定三个向量，，，．

⑴求满足的实数的值；

⑵解关于的不等式。

17．（本题满分14分）

已知点，和圆．

⑴当时，过点作圆的切线，求切线的方程；

⑵过点引圆的两条割线，，直线和被圆截得的弦的中点分别为．试问过点的圆是否过定点（异于点）？若过定点，求出该定点；若不过定点，说明理由．

18．（本题满分16分）

某地方政府要将一块如图所示的直角梯形空地改建为健身娱乐广场.已知百米，百米，广场入口在上，且，根据规划，过点铺设两条相互垂直的笔直小路（小路的宽度不计），点分别在边上（包含端点），区域拟建为跳舞健身广场，区域拟建为儿童乐园，其它区域铺设绿化草坪，设.

⑴求绿化草坪面积的最大值；

⑵现拟将两条小路进行不同风格的美化，小路的美化费用为每百米万元，小路的美化费用为每百米万元，试确定的位置，使得小路的美化总费用最低，并求出最小费用.

19．（本小题满分16分）

如图，椭圆的焦点在轴上,中心是坐标原点，且与椭圆的离心率相同,长轴长是长轴长的一半.为上一点,交于点,关于轴的对称点为点,过作的两条互相垂直的动弦,分别交于两点.

⑴求椭圆的标准方程;

⑵求点坐标;

⑶求证:三点共线.

20．（本小题满分16分）

已知函数.

⑴当时，求函数的极值；

⑵若函数在其定义域内有两个不同的极值点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），记为，且.

①求的取值范围；

②若不等式恒成立，求正实数的取值范围.

数学试卷（选修部分）

2017.10

（考试时间：30分钟 试卷满分：40分）

21．（本小题满分10分）

已知矩阵，试求曲线在矩阵变换下的函数解析式．

22．（本小题满分10分）

在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：

⑴该顾客中奖的概率；

⑵该顾客获得的奖品总价值（元）的概率分布列和期望.

23．（本小题满分10分）

如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线交于点，，，，底面，设点满足.

⑴当时，求直线与平面所成角的正弦值；

⑵若二面角的大小为，求的值.

24．（本小题满分10分）

已知数列中，，（，是正常数）．

⑴当时，用数学归纳法证明（）；

⑵是否存在正整数，使得对于任意正整数，都有．

数学试卷（必做部分答案）2017.10

一、填空题：

1、2、 3、充分不必要 4、假 5、6、

7、8、9、10、

11、12、个或个或个 13、14、

二、解答题：

15、解：⑴………………4分

∴的最小正周期为， ………………6分

令，则，∴的对称中心为；…………-8分

⑵∵∴∴∴

∴当时，的最小值为；当时，的最大值为. ………………14分

16、解：解：⑴； ………………6分

⑵由得， ………………8分

………………10分

当，即时，不等式无解； ………………12分

当即时，

不等式的解集为． ………………14分

17．解：⑴若，则当斜率不存在时，，此时与圆相切；

当斜率存在时，设切线为，即

所以，解得，即，所以，

所以所求的直线为或； ………………6分

⑵由题意知，过点的圆为以为直径的圆，圆心为，半径，

所以所求的圆为，

整理得，所以，（舍）

过点的圆过定点． ………………14分

18．解：⑴在中，，得，所以

由,

在中，，得，所以

所以绿化草坪面积

…………4分

，当且当，，……6分

所以绿化草坪面积的最大值为平方百米. …………8分

⑵在中，，得，

由,，在中，，

得，所以总美化费用为…………10分

方法一：

令得列表如下

		-	0	-
		单调递减		单调递增

所以当时，即时总美化费用最低为4万元. …………16分

方法二：

令得，所以，

所以在上是单调递减

所以当，时，即时总美化费用最低为4万元. …………16分

答：⑴所以绿化草坪面积的最大值为平方百米.

⑵时总美化费用最低，最低费用为4万元

（不答扣1分）

19、解：⑴由椭圆标准方程可得：长轴长是，离心率是

∴椭圆,椭圆的标准方程：. …………4分

⑵设,第一象限点,∴. …………6分

⑶当∥轴，轴时，.

,三点共线. …………8分

当直线存在斜率时，可设,

由得

，………12分

同理,以替换上式中的，得.……15分

故，即三点共线 . 综上：三点共线. ……16分

20、解：

高邮中学2017-2018学年度高三年级第一学期十月双周考试

数学试卷（选做部分答案）2017.10

21、解：MN==，……4分

即在矩阵MN变换下，……6分

，……8分

代入得：，即曲线在MN变换下的函数解析式为． ……10分

22、解：⑴，即该顾客中奖的概率为. ……………4分

⑵的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）.

，

. 故有分布列：

	0	10	20	50	60
P

…………………8分

从而期望. ………………10分

23、解：⑴以为坐标原点，建立坐标系，则，，，，，所以，，.当时，得，

所以，设平面的法向量，则，

得，令，则，所以平面的一个法向量，

，即直线与平面所成角的正弦值.……5分

⑵易知平面的一个法向量.

设，代入，得，

解得，即，所以，

设平面的法向量，则，

消去，得，令，则，，

所以平面的一个法向量，

所以，解得或，因为，所以.……………10分