江西省新余市第四中学2018届高三上学期第三次段考数学（理）

新余市第四中学2018届高三上学期第三次段考

数学（理）试题

考试时间：120分钟 试卷总分：150分

第Ⅰ卷(选择题：共50分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知集合,则集合且为( )

1. B.C.D.

2.已知为虚数单位,为复数的共轭复数,若,则( )

1. B.C.D.

3.已知,则( )

1. B.C.D.

4.设正项等比数列的前项和为,且,若,则( )

1. B.C.或D.

5.给出下列四个命题：

①“若为的极值点，则”的逆命题为真命题；

②“平面向量,的夹角是钝角”的充分不必要条件是；

③若命题,则；

④命题“,使得”的否定是：“均有”.

其中不正确的个数是( )

1. B.C.D.

6.已知函数的一条对称轴为直线，则要得到函数

的图象,只需将函数的图象( )

A.沿轴向右平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍

B.沿轴向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍

C.沿轴向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍

D.沿轴向右平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍

7.已知为锐角,,,则( )

1. B.C.D.

8.已知数列为等差数列,且满足,若,点为直线

外一点,则( )

1. B.C.D.

9.已知中,是的重心,,∠,则( )

1. B.C.D.
   10.在中,角的对边分别为,若,,则面积的最大值
   为( )
   1. B.C.D.

11.已知,若的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都

不属于区间,则的取值范围是( )

1. B.C.D.

12.已知函数,若对恒成立,则实数的取值范围是( )

1. B.C.D.

第Ⅱ卷（非选择题：共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡的相应位置.

13.已知,向量在方向上的投影为,则.

14.已知的展开式的常数项为,则.

15.若函数在区间上有极值点,则实数的取值范围为 .

16.已知数列的前项和为,且,,则满足的的最小值为 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)

已知向量,函数.

1. 若,求的最小值；
2. 若,求的值.

18.(本小题满分12分)

已知各项均为正数的数列的前项和为,且.

1. 求数列的通项；
2. 若,,求证：＜

19.(本题满分12分)

已知数列的前项和为,对任意的正整数,都有成立.

1. 求证：存在实数使得数列为等比数列；
2. 求数列的前项和.

20.(本小题满分12分)

某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名,以下茎叶图记录

了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶)：

若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.

1. 从这16人中随机选取3人,记表示抽到“极幸福”的人数,求的分布列及数学期望,并求
   出至多有1人是“极幸福”的概率；
2. 以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记表示

抽到“极幸福”的人数,求的数学期望.

21.(本小题满分12分)

已知函数,(且为常数)．

1. 若曲线在处的切线过点,求实数的值；
2. 判断函数在上的零点个数,并说明理由．

22.（本小题满分12分）

已知函数(为常数).

1. 讨论函数的单调区间；
2. 当时,设的两个极值点,()恰为

的零点,求的最小值.

新余四中2018届高三上学期第三次段考理科数学试卷参考答案

一、选择题（125分=60分）：

1-5：DBCAC； 6-10：BADBC； 11-12：AB.

二、填空题（45分=20分）：

13.； 14.； 15.； 16..

三、解答题（512分10分=70分）：

17.解(1)

,………………3分

,,,

即时,.………………6分

(2),即,得.

,,.………………9分

.………………12分

18.解(1)令，得，.

又①,.②

②-①得:,.

,∴,∴.………………5分

(2)当时,,符合题意. ………………6分

当时，因为,………………8分

所以,

∴＜.………………12分

19.解(1)当时,,可得.………………2分

由得,

两式相减得,即,………………4分

所以,而,所以数列是首项为3,公比为3的等比数列,

所以存在实数,使得数列为等比数列.……………………6分

(2)由(1)得,即,

所以,………………8分

令,则,

两式相减得,

所以.……………………12分

20.解(1)的可能取值为,,,,且,,

,,………………2分

的分布列为

		1

数学期望,………………4分

至多有1人是“极幸福”记为事件,

则.………………6分

(2)解法一：的可能取值为0,1,2,3,随机选取1人是“极幸福”的概率为.

∴；；

；.

∴的分布列为

		1

数学期望.………………12分

解法二：依题意知，随机选取1人是“极幸福”的概率为,

故随机变量满足二项分布,故数学期望.

21.解(1)=，………………2分

又曲线在处的切线过点,得,

即,解得.………………4分

(2)由得,

即,令,则.

由,得,故在上递增,在上递减,

.………………9分

再令,因为,所以函数在上递增,

,故，

所以函数在上没有零点,即零点个数为0.………………12分

22.解(1),, ………………1分

当时,由,解得,即当时,,递增；

由解得,即当时,,递减；………………3分

当时,,即在上递增；………………4分

当时,,故,即在上递增．

综上，当时,的递增区间为,递减区间为；

当时,的单调递增区间为.………………5分

(2)由得,

由题意知有两个互异实根,,且，,

因为,()是的两个零点,

故①,②.

由②①得：,解得,………………7分

因为,得,将代入得

,………………8分

所以,设,

因为,所以,

所以,所以,即.………………10分

令,得,

则在上是增函数,所以,

即的最小值为.………………12分