江西省赣州市十三县（市）2016届高三下学期期中联考数学（理）试卷

2015—2016学年第二学期赣州市十三县（市）期中联考

高三理科数学试卷

命题人： 审题人：

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1.已知，，则( )

A．B．C．D．

2. 已知复数，则（ ）

A．B．C．D．

3. 由曲线，直线所围成的封闭图形的面积为( )

1. B.C.D.

4. 将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，则（ ）

A.B.C.D.

5. 已知数列，若利用如图所示的程序框图

计算该数列的第11项，则判断框内的条件是( )

A．B．C．D．

6. 设双曲线的一条渐近线与抛物线相切，则双曲线的离心率为（ ）

A．B．C．D． 5

7．下列命题中： ①“”是“”的充要条件;

②已知随机变量服从正态分布,,则;

③若n组数据的散点图都在直线上,则这n组数据的相关系数为;

④函数的所有零点存在区间是.其中正确命题的个数是( )

A．1B．2C．3D．4

8. 若满足，且的最小值为，则的值为( )

....

9. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若△ABC的面积，则( )

A．B．C．D．

10. 设，

则（ ）

A.B.C.D.

11. 某三棱锥的三视图如图所示，

则该三棱锥的外接球的表面积是(　 　)

A.B.   C.D.

12. 设函数，其中，若存在，使得成立，则实数的值为（ ）

A．B．C．D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 一个盒子里有20个大小形状相同的小球，其中5个红球，6个黄球，9个绿球，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是__________.

14. 如图，圆与轴的正半轴的交点为，点、在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为（），，若，则

15. 已知实数满足：，则

16. 点P是直线上一动点，定点F（，0），点O为坐标原点，点Q为PF的中点，动点M满足：，过点M作圆的切线，切点分别为S、T，则的最小值是 .

三、解答题：本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁＝3，前n项和为S_n，{b_n}为等比数列，b₁＝1，

且b₂S₂＝64，b₃S₃＝960.

(1)求a_n与b_n；

(2)求证：.

18. （本小题满分12分）

PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．

某试点城市环保局从该市市区2015年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）

（1）从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，

求恰有一天空气质量达到一级的概率；

（2）从这15天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽到

PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列；

（3）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．

19. （本小题满分12分）

如图, 已知四边形和均为直角梯形，，，

且，平面⊥平面,.

（Ⅰ）证明：AG平面BDE;

（Ⅱ）求平面和平面所成锐二面角的余弦值.

20. （本小题满分12分）

已知抛物线S:,过点作抛物线S的两条切线，满足.

（1）求抛物线S的方程；

（2）圆P:，过圆心作直线,此直线

与抛物线S、圆P的四个交点,自上而下顺次记为,

如果线段的长按此顺序构成一个等差数列,

求直线l的方程.

21. （本小题满分12分）

已知函数(R)．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若对任意实数，当时，函数的最大值为，求的取值范围．

请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．

（Ⅰ）求证：DE∥AB；

（Ⅱ）求证：AC·BC＝2AD·CD．

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），点是曲线上的动点，点在曲线上，且满足.

（Ⅰ）求曲线的普通方程；

（Ⅱ）以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线、分别交于、两点，求.

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设不等式的解集为,.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）比较与的大小.

高三理科数学参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）

A C D D；C B C A；C D B A

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13.14.15.16.

三、解答题：

17、解：(1)设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则d为正数，

a_n＝3＋(n－1)d，b_n＝q^n－1.

依题意有解得

故a_n＝3＋2(n－1)＝2n＋1，b_n＝8^n－1. ………6分

(2)S_n＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，

所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋

＝(1－＋－＋－＋…＋－)＝(1＋－－)

＝－.……12分

18、解：（1）记“恰有一天空气质量达到一级”为事件A ，

．………4分

（2）依据条件，ξ服从超几何分布：其中N=15，M=5，n=3，ξ的可能值为0，1，2，3，其分布列为：． ………6分

ξ	0	1	2	3
P

………8分

（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为，

一年中空气质量达到一级或二级的天数为η，则． ………10分

∴，

∴一年中平均有240天的空气质量达到一级或二级． ………12分

19、证明：由平面，平面,

平面BCEG,.………1分

根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，可得

…………2分

（Ⅰ）设平面BDE的法向量为，则

即，，

平面BDE的一个法向量为………………………………………………4分

，，

，∴AG∥平面BDE. ………………………………………………6分

（Ⅱ）设平面的法向量为，平面和平面所成锐二面角为

因为,,由得，………8分

平面的一个法向量为，.

故平面和平面所成锐二面角的余弦值为……….12分

20、解：（1）由抛物线S的对称性知切线的斜率互为相反数，

又，，………2分

即切线方程：，

代入抛物线方程得：

，

抛物线S的方程为………5分

（2）圆的方程为,则其直径长,圆心为,

设l的方程,代入抛物线方程得:

设有，………6分

则………8分

因为,

所以即,………10分

则l方程为或.………12分

21、解：（Ⅰ）当时，，

则，……………………………………1分

令，得或；令，得，

∴函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. ………4分

（Ⅱ）由题意，

（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，此时，不存在实数，使得当时，函数的最大值为.……………6分

（2）当时，令，有，，

①当时，函数在上单调递增，显然符合题意.……………7分

②当即时，函数在和上单调递增，

在上单调递减，在处取得极大值，且，

要使对任意实数，当时，函数的最大值为，

只需，解得，又，

所以此时实数的取值范围是. ……………………………9分

③当即时，函数在和上单调递增，

在上单调递减，要存在实数，使得当时，

函数的最大值为，需，

代入化简得，①

令，因为恒成立，

故恒有，所以时，①式恒成立，

\ 综上，实数的取值范围是. …………………………………12分

22、【证明】： （Ⅰ）连接OE，因为D为的中点，E为BC的中点，

所以OED三点共线．………………………… …2分

因为E为BC的中点且O为AC的中点，

所以OE∥AB，故DE∥AB.………………………… …5分

（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD＝∠DAC，

又∠BAD＝∠DCB∠DAC＝∠DCB．

又因为AD⊥DC，DE⊥CE△DAC∽△ECD．………… …8分

＝AD·CD＝AC·CE

2AD·CD＝AC·2CE

2AD·CD＝AC·BC．……………………………10分

23、【解析】：（1）设………… …2分

点在曲线上，，……………… …4分

曲线的普通方程为；………………………… …5分

1. 曲线的极坐标方程为

将代入得，的极坐标为，………………………… …7分

曲线的极坐标方程为

将代入得，的极坐标为，………………………… …9分

.………………………… …10分

24、【解析】：（I)记，由

解得：，即 ………………………… …3分

所以，;………………………… …5分

（II）由（I）得：，，………………………… …6分

为…………… …8分

，故，即………………………… …10分