江西省赣州市十三县（市）2016届高三下学期期中联考数学（文）试卷

2015—2016学年第二学期赣州市十三县（市）期中联考

高三文科数学试卷

命题人： 审题人：

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，，则 （ ）

1. B.C.D.

2．复数= （ ）

A．B．C．D．

3．已知向量, 则实数等于 （ ）

A．B．C．或D．0

4.等差数列的前n项和为，若，则的值是 （ ）

A．130 B．260 C．20 D．150

5．装里装有3个红球和1个白球，这些球除了颜色不同外，形状、大小完全相同。从中任意取出2个球，则取出的2个球恰好是1个红球、1个白球的概率等于 （ ）

A． B． C． D．

6.如图，是一个几何体的三视图，其中主视图、左视图是直角边长

为2的等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则此几何体的

表面积为 （ ）

1. B.C.D.
   7．已知变量满足约束条件,则目标函数的最大值为 ( )
   A． B．0 C．1 D．3
   8. 已知函数的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则是减函数的区间为 （ ）
   A.(–，0) B.(–，) C.(0，) D.(，)
   9.执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的值为 （ ）
   
   A.6 B.8 C.10 D.12
   10.函数的图象（部分）大致是 （ ）
   
   A B C D
   11.已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP=3FQ，则|QF|= （ ）
   A．B. C.3 D.2
   12.设，若函数在区间(0，4)上有三个零点，则实数的取值范围是 （ ）
   1. B.C.D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知双曲线=1（的离心率为2，那么该双曲线的渐近线方程

为 .

14.已知函数，若，则

15．若数列满足且，为数列的前n项和，

则＝ .

16.已知中，三个内角的对边分别为，若的面积为，

且，则.

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分12分）

已知等比数列的公比，前3项和

（1）求数列的通项公式；

（2）若函数在处取得最大值，求函数在区间上的值域.

18. （本小题满分12分）

某高校在2015年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下图所示.

（Ⅰ）请先求出频率分布表中的a、b，再完成下列频率分布直方图；

（Ⅱ）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？

（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受考官A进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？

19.（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱中，，，，，

分别是，的中点.

.u.c（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求三棱锥的体积.

20．（本小题满分12分）

如图，已知圆：，点，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）已知是轨迹的三个动点，点在一象限，与关于原点对称，且，问△的面积是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相应直线的方程；若不存在，请说明理由．

21.（本小题满分12分）

已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若不等式在有解，求实数的取值菹围；

（Ⅲ）证明：函数和在公共定义域内，.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．

22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图所示，△内接于⊙，直线与⊙相切于点，交的延长线于点，过点作交的延长线于点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若直线与⊙相切于点，且，，

求线段的长．

23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，.

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）在曲线上求一点，使它到直线：（为参数，）的距离最短，并求出点的直角坐标.

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数．

(1)当时，解不等式；

(2)若对于时，恒成立，求的取值范围．

高三文科数学答案

一、选择题：DBCB AACD CCAD

二、填空题：13、 14、-3 15、2017 16、

三、解答题：

17.解：（1）由………………2分

……………………6分

（2）

………………………9分

…………………………12分

18. 解：（Ⅰ）由题可知，第2组的频数为人, 第3组的频率为…2分

频率分布直方图如右图: ………………………4分

（Ⅱ）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样

在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:

第3组:人,

第4组:人,

第5组:人,

所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人…… 8分

（Ⅲ）设第3组的3位同学为,第4组的2位同学为,第5组的1位同学为,从六位同学中抽两位同学有15种可能如下:，，，，， … 10分

其中第4组的2位同学为至少有一位同学入选的有:9中可能,

所以其中第4组的2位同学为至少有一位同学入选的概率为. ……… 12分

19.解：（Ⅰ）证明：在三棱柱中，底面，所以.

又因为，，

所以平面， …………………………………4分

又平面，

所以平面平面.………………………………5分

（Ⅱ）证明：取的中点，连接，.

因为，，分别是，，的中点，

所以，且，.

因为，且，所以，且，

所以四边形为平行四边形，所以. ………………………9分

又因为平面，平面，所以平面. …………10分

（Ⅲ）因为，，，所以.

所以三棱锥的体积. ……………12分

20．解：（1）在线段的垂直平分线上，所以；

得，

又，得的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆.

. ……………………………………4分

（2）由点在一象限，与关于原点对称，设

，在的垂直平分线上，.

，

， 同理可得，……………6分

……………………8分

，当且仅当时取等号，

所以， …………………………………11分

当直线，. ………………………………12分

21.解：（Ⅰ）…………1分

由

…………3分

综上所述，……4分

（Ⅱ）由题意：

…………5分

设，………………6分

因为，且时，，

所以，即，故在区间上单调递减，

所以，

因此﹒ ……………………8分

（Ⅲ）方法一：与的公共定义域为，

，…………………………9分

设，，因为，在区间上单调递增，， ………………………11分

又设，，由（Ⅰ）知是的极大值点， 即，所以，

在函数和公共定义域内，﹒ …………………12分

方法二：与的公共定义域为，

令，则……………………9分

设的解为，则当时，，单调递减，

当时，，单调递增； 所以在处取得最小值，………………11分

显然且，所以，所以，

故在函数和公共定义域内，﹒…………………12分

22.解：（Ⅰ）证明：因为是⊙的切线，

所以（弦切角定理）．………………1分

因为，所以． ……………………2分

所以．因为（公共角），

所以△∽△． ……………………3分

所以．即． ……………………4分

（Ⅱ）解：因为是⊙的切线，是⊙的割线，

所以 （切割线定理）． ……………………5分

因为，，所以，．…………………7分

由（Ⅰ）知，所以． ……………………8分

因为，所以△∽△． ……………………9分

所以．所以． ……………………10分

23.（Ⅰ）解：由，，

可得． ……………………1分

因为，， ……………………2分

所以曲线的普通方程为（或）． …………4分

（Ⅱ）解法一：因为直线的参数方程为（为参数，），

消去得直线的普通方程为． ……………………5分

因为曲线：是以为圆心，1为半径的圆，

设点，且点到直线：的距离最短，

所以曲线在点处的切线与直线：平行．

即直线与的斜率的乘积等于，即．………………7分

因为，解得或．

所以点的坐标为或． ……………………9分

由于点到直线的距离最短，

所以点的坐标为． ……………………10分

解法二：因为直线的参数方程为（为参数，），

消去得直线的普通方程为．……………………………………5分

因为曲线是以为圆心，1为半径的圆，

因为点在曲线上，所以可设点．……………7分

所以点到直线的距离为．…………8分

因为，所以当时，．………………………………………9分

此时，所以点的坐标为．…………………………………10分

24、解：（1）当时，不等式为

当时；

当时；

当时 4；

不等式的解集为}……………………5分

（2）当时，即

即对于恒成立

即对于恒成立

……………………10分