河北省遵化一中2018届高三下学期第四次综合训练数学文

2018届河北省遵化一中高三下学期第四次综合训练

数学（文）试卷

命题人：

本试题共5页，共23题。满分为150分，考试时间120分钟。

一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、若复数z＝2i＋，其中i的虚数单位，则复数z的模为 ( )

A．1B．C．D．2

2、设A，B是两个非空集合，定义运算A×B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}．已知A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2^x，x＞0}，则A×B＝(　　)

A．[0,1]∪(2，＋∞)B．[0,1)∪[2，＋∞)

C．[0,1]D．[0,2]

3、已知，则是的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也非必要条件

4、已知平面，直线，且有，给出下列命题：

①若，则；②若，则；③若，则；④若，则，其中正确命题个数有（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

5、已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 （ ）

A．B．

C．D．

6、已知等差数列{a_n}的公差为2，若前17项和为S₁₇=34，则a₁₂的值为（ ）

A． 8 B．6C． 4D．2

7、若变量x，y满足约束条件则z＝3x－y的最小值为(　　)

A．1 B．－1 C．-7 D．2

8、已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y²=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（ ）

　A． 2B．2C.4D．4

9、“中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为(　　)

A．5和1.6B．5和0.4

C．85和0.4D．85和1.6

10、在区间上任取一个数，则使得的概率为

A．B．C．D．

11、阅读如图所示的程序框图,若输入的,则该算法的功能是

A．计算数列的前10项和B．计算数列的前9项和

C．计算数列的前10项和 D．计算数列的前9项和

12、设直线与曲线有三个不同的交点，且

，则直线的方程为

A．B．C．D．

二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13、在数列中，，，若是数列的前n项和，则.

14、已知函数，，它的图像经过点，则的最小值

为 .

15、圆内接∆中，是的中点，.若，则.

16、如图,在Rt△BAC中,D,E分别是AC,BC上的点，且满足,

BE=4CE,若CD=,则△BDE的面积为 .

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分12分）

如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，

cos∠ADC＝.

1. 求sin∠BAD；
2. 求BD，AC的长．
   
   18、（本小题满分12分）
   某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得出频率分布表如下：

   X	1	2	3	4	5
   频率	a	0.2	0.45	b	c

   1. 若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；
   2. 在(1)条件下，将等级系数为4的3件日用品记为X₁，X₂，X₃，等级系数为5的2件日用品记为Y₁，Y₂，现从X₁，X₂，X₃，Y₁，Y₂这5件日用品中任取2件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，求这2件日用品的等级系数恰好相等的概率．

19、（本小题满分12分）

如图，已知在直三棱柱中,，，点D是线段的中点.

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）当三棱柱的体积最大时，求三棱锥的体积.

20、（本小题满分12分）

定长为3的线段AB的两个端点分别在轴，轴上滑动，动点满足.

（1）求点的轨迹曲线的方程；

（2）若过点的直线与曲线交于两点，求的最大值。

21．(本小题满分12分)

已知函数.

（Ⅰ）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值；

（Ⅱ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.

请从下面所给的22、23三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

22.（本小题满分10分)选修；坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线：，过点的直线的参数方程为(为参数)，与分别交于.

(1)写出的平面直角坐标系方程和的普通方程；

(2)若成等比数列，求的值.

23.（本小题满分10分）选修：不等式选讲

已知函数，

（Ⅰ）解关于的不等式；

（Ⅱ）若函数的图像在函数图像的上方，求实数的取值范围.

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遵化市2017-2018学年度第二学期高三第四次综合训练答案数学试题（文）

一.选择题（本大题满分60分，每题5分，每题仅有一个答案正确，将答案填在答题卡上）

BAABB ACBDC AD

二.填空题（本题满分20分，每题5分，直接将答案写在答题卡上）

15，,,

三.解答题

17、（本小题满分12分）

解：(1)在△ADC中，因为

cos∠ADC＝，所以sin∠ADC＝.

所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)

＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB

＝×－×＝.

(2)在△ABD中，由正弦定理得

BD＝＝＝3.

在△ABC中，由余弦定理得

AC²＝AB²＋BC²－2AB·BC·cosB

＝8²＋5²－2×8×5×＝49.

所以AC＝7.

18、（本小题满分12分）

(1)由频率分布表得a＋0.2＋0.45＋b＋c＝1，

a＋b＋c＝0.35.

因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，

所以b＝＝0.15，等级系数为5的恰有2件，所以c＝＝0.1，

从而a＝0.35－b－c＝0.1，所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.

(2)从日用品X₁，X₂，X₃，Y₁，Y₂中任取2件，所有可能结果为(X₁，X₂)，(X₁，X₃)，(X₁，Y₁)，(X₁，Y₂)，(X₂，X₃)，(X₂，Y₁)，(X₂，Y₂)，(X₃，Y₁)，(X₃，Y₂)，(Y₁，Y₂)，共10个，

设事件A表示“从日用品X₁，X₂，X₃，Y₁，Y₂中任取2件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为(X₁，X₂)，(X₁，X₃)，(X₂，X₃)，(Y₁，Y₂)，共4个，

故所求的概率P(A)＝＝0.4.

19、（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：记，为三角形的中位线，

∥，平面,平面，

所以∥平面………6分

（Ⅱ）当三棱柱的底面积最大时，体积最大，

当，三角形为正三角形时取最大值………8分

因为∥平面，点和到平面的距离相等，…9分

………12分

20、（本小题满分12分）

解：（1）设A（，0），B（0，），P（），由得，，即， ——2分

又，所以’化简得：，这就是点P的轨迹方程。

（2）当过点（1,0）的直线为时，

当过点（1,0）的直线不为时可设为，

A（，），B（，）联立并化简得：

，由韦达定理得：，，——6分

所以——10分

又由恒成立，所以，对于上式，当时，综上所述的最大值为……………12分

21．(本小题满分12分)

…………12分

22.（本小题满分10分)选修；坐标系与参数方程

解：(1)利用极坐标与普通方程的关系式，可得C为抛物线方程，消去参数t，可得直线l的方程；(2)由|PM|＝|t₁|，|MN|＝|t₁－t₂|，|PN|＝|t₂|成等比数列，可转化为关于a的等量关系求解.

试题解析：(Ⅰ)曲线C的直角坐标方程为y²＝2ax(a＞0)；

直线l的普通方程为x－y－2＝0． 4分

(Ⅱ)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得

t²－2(4＋a) t＋8(4＋a)＝0 (*)

△＝8a(4＋a)＞0．

设点M，N分别对应参数t₁，t₂，恰为上述方程的根．

则|PM|＝|t₁|，|PN|＝|t₂|，|MN|＝|t₁－t₂|．

由题设得(t₁－t₂)²＝|t₁t₂|，即(t₁＋t₂)²－4t₁t₂＝|t₁t₂|．

由(*)得t₁＋t₂＝2(4＋a)，t₁t₂＝8(4＋a)＞0，则有

(4＋a)²－5(4＋a)＝0，得a＝1，或a＝－4．

因为a＞0，所以a＝1． 10分

23.（本小题满分10分）选修：不等式选讲

.解：（Ⅰ）由得，

故不等式的解集为…………5分

（Ⅱ）∵函数的图象恒在函数图象的上方

∴恒成立，即恒成立 ………………8分

∵，

∴的取值范围为. …………………………………………10分