海南省嘉积中学2015届高三下学期第五次测试数学试卷（理科）

海南省嘉积中学2014—2015学年度第二学期高三大测（五）

数学科试题（理科）

（时间：120分钟，满分：150分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合，,，则=（ ）

A．B．C．D．

2．已知复数为纯虚数，那么实数（ ）

A．B．C．D．

3．在等比数列中，，，则公比等于（ ）

A．－2B．1或－2C．1D．1或2

4．已知向量，，若与垂直，则（ ）

A．B．C．2D．4

5．若，则的值为（ ）

A．2B．3C．4D．6

6．右侧茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听

力测试中的成绩．已知甲组数据的中位数为15，乙组

数据的平均数为16.8，则，的值分别为（ ）

A．2,5B．5,5C．5,8D．8,8

7．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为．其三

视图中的俯视图（如右图所示），则其左视图的面积是（ ）

A．B．C．D．

8．执行如右图所示的程序框图，若输入，则输出的值为

（ ）

A．B．C．D．

9．若满足条件的整点恰有9个，其中整点是

指横、纵坐标都是整数的点，则整数的值为（ ）

A．B．C．D．

10．已知双曲线与抛物线的一个交点为，为抛物线的焦点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）

A．B．C．D．

11．如图，直三棱柱中，，，

，则与平面所成的角为（ ）

A．B.C.D.

12．定义方程的实数根叫做函数的 “新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，则的大小关系为（ ）

A．B．C．D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知，则．

14．若椭圆经过点，且焦点为，则这个椭圆的离心率等于______________．

15．已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 .

16．把正整数排列成如下图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到数列，若a_n=2015，则_________.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

在梯形中，

（Ⅰ）求的长；

（Ⅱ）若，求梯形的面积．

18．（本小题满分12分）

清华大学自主招生考试题中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A，B，C三题答卷数如下表：

题	A	B	C
答卷数	180	300	120

（Ⅰ）负责招生的教授为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出多少份？

（Ⅱ）测试后的统计数据显示，A题的答卷得优的有60份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择A题作答的答卷中，记其中得优的份数为，求的分布列及其数学期望．

19．（本题满分12分）

如图，三棱柱中，⊥面，，，为的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在侧棱上是否存在点，使得

？请证明你的结论.

20．（本小题满分12分）

已知椭圆：的离心率为，右顶点是抛物线的焦点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在过点的直线与椭圆交于，两个不同的点，且使成立（为直线外的一点）？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．

21．（本小题满分12分）

已知函数.

（Ⅰ）若，且存在单调递减区间，求的取值范围；

（Ⅱ）若函数的图像与轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为，证明：．

四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目题号后的方框涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是圆O的直径，C，F是圆O上的两点，AF//OC，过C作圆O的切线交AF的延长线于点D．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若，垂足为M，

求证：AM·MB=DF·DA．

23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程

在直角坐标系中，曲线C₁的参数方程为为参数），P为C₁上的动点，Q为线段OP的中点．

（Ⅰ）求点Q的轨迹C₂的方程；

（Ⅱ）在以O为极点，轴的正半轴为极轴（两坐标系取相同的长度单位）的极坐标系中，N为曲线上的动点，M为C₂与轴的交点，求|MN|的最大值．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数

（Ⅰ）解不等式：；

（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围．

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嘉积中学2014—2015学年度第二学期高三大测（五）

数学科答案（理科）

一、选择题

BDB CDC ABC CAA

二、填空题 13．1 14． 15．16．1030

三、解答题

17．解：（Ⅰ）在中，因为，所以．由正弦定理得：，即．

（Ⅱ）在中，由余弦定理得：，

整理得，解得（舍负）．

过点作于，则为梯形的高．

因为，，所以．

在直角中，．

即梯形的面积为．

18．解：（Ⅰ）由题意可得：

题	A	B	C
答卷数	180	300	120
抽出的答卷数	3	5	2

应分别从题的答卷中抽出份，份．

（Ⅱ）由题意可知，A题答案得优的概率为，显然被抽出的A题的答案中得优的份数的可能取值为0,1,2,3，且．

；；

；

随机变量的分布列为：

所以．

19．（I）证明：连接B₁C，与BC₁相交于O，连接OD．

∵BCC₁B₁是矩形，∴O是B₁C的中点．

又D是AC的中点，∴OD//AB₁．

∵AB₁面BDC₁，OD面BDC₁，∴AB₁//面BDC₁．

（II）解：如图，建立空间直角坐标系，

则C₁（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），

A（2，3，0），D（1，3，0），，，

设是面BDC₁的一个法向量，则

即，取.

易知是面ABC的一个法向量.

.

∴二面角C₁—BD—C的余弦值为.

（III）假设侧棱AA₁上存在一点P使得CP⊥面BDC₁.

设P（2，y，0）（0≤y≤3），则，

则，即.

解之∴方程组无解.

∴侧棱AA₁上不存在点P，使CP⊥面BDC₁.

20．

21．解：（I）当时，

则…………（2分）

因为函数存在单调递减区间，所以<0有解.

又因为x>0时，则ax²+2x－1>0有x>0的解.

①当a>0时，y=ax²+2x－1为开口向上的抛物线，ax²+2x－1>0总有x>0的解；

②当a<0时，y=ax²+2x－1为开口向下的抛物线，若ax²+2x－1>0总有x>0的解；

则需△=4+4a>0,且方程ax²+2x－1=0至少有一正根.此时，－1<a<0.

综上所述，a的取值范围为（－1，0）∪（0，+∞） …………（5分）

（II） 设点A,B的坐标分别是（x₁, 0），（x₂, 0），0<x₁<x₂.

则点AB的中点横坐标为

则…………（7分）

…………（9分）

设则

令则

因为时，，所以在）上单调递减. 故

而. 故…………（12分）

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