海南省海南中学2015届高三5月月考数学（理）试卷

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海南中学2015届高三五月考

理科数学

（考试用时为120分钟，满分分值为150分.）

注息事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效.

4.考试结束后，将答题卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知集合，，则( )

A．B．C．D．

2.已知复数满足，则=（ ）

1. B.C.D.

3.已知向量，的夹角为，且，，则（ ）

A．B．C．D．

4.已知，，则数列的通项为（ ）

A．B．

C．D.

5. 执行右边的程序框图，若，则输出的（ ）

A.B.

C.D.

6.在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（ ）

A．B．C．．D．

7.将函数的图像向右平移单位得到函数的图像，则将函的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像，则（ ）

A．B．C．D．

8.设函数，则在下列区间中，函数不存在零点的是（ ）

A．B．C．D．

9.已知直线过抛物线：的焦点，且与轴垂直，则直线与抛物线所围成的图形的面积为（ ）

A．B．C．D．

10.已知，满足，则的最小值是（ ）

A．B．C．D．

11.设分别是双曲线(﹥,﹥)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使得，其中为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为( )

A.B.C.D.

12.对于函数，若对于任意的，为某一三角形的三边长，则称为“可构成三角形的函数”。已知函数是“可构成三角形的函数”，则实数的取值范围是（ ）

A．B．C．D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题至第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题至第24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分.）

13.若双曲线(﹥,﹥)的离心率为，则其渐近线方程为。

14.已知数列是等差数列,为其前项和,若成等比数列，则。

15.已知函数(﹥,)，若（），则=。

16.已知下列四个命题：

⑴若﹥0在上恒成立，则﹤﹤4；

⑵锐角三角形中，，则﹤﹤1；

⑶已知,直线与椭圆(﹥0)恒有公共点，则；

⑷定义在上的函数满足当﹤0时，﹥0,则函数在上有最小值。

其中的真命题是。

三.解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17（本小题满分12分）

已知函数。

(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；

⑵记的内角的对应边分别为，且，，求的取值范围。

18（本小题满分12分）

营养学家指出，高中学生良好的日常饮食应该至少提供0. 075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪。1kg食物含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费元；而1kg食物含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费元。为了满足营养专家指出的 日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物和食物多少kg？

19（本小题满分12分）

数列的前几项和为，满足，其中﹥0。

⑴若为常数，证明：数列为等比数列；

⑵若为变量，记数列的公比为，数列满足，求，试判定与的大小，并加以证明。

20（本小题满分12分）.

已知椭圆(﹥﹥0)经过点，离心率。

⑴求椭圆的方程；

⑵不过原点的直线与椭圆交于两点，若的中点在抛物线上，求直线的斜率的取值范围。

21（本小题满分12分）

己知函数。

⑴讨论函数的单调区间；

⑵设，当时，若对任意的都有，求实数的取值范围；

(3)求证：﹤。

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，在正中，点分别在边上，且,,与交于点。

⑴求证：四点共圆；

⑵若正的边长为2，求点所在圆的半径。

23.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程．

已知曲线：，将曲线上的点按坐标变换得到曲线；以直角坐标系原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标系方程是。

⑴写出曲线和直线的普通方程；

⑵求曲线上的点到直线距离的最大值及此时点的坐标。

24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数

⑴解不等式；

⑵设函数，若不等式﹥恒成立，求实数的取值范围。

海南中学2015届高三第五次月考

理科数学参考答案

（考试用时为120分钟，满分分值为150分.）

注息事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效.

4.考试结束后，将答题卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知集合，，则( B )

A．B．C．D．

2.已知复数满足，则=（ C ）

1. B.C.D.

3.已知向量，的夹角为，且，，则（ D ）

A．B．C．D．

4.已知，，则数列的通项为（ C ）

A．B．

C．D.

5. 执行右边的程序框图，若，则输出的（ C ）

A.B.

C.D.

6.在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（ B ）

A．B．C．．D．

7.将函数的图像向右平移单位得到函数的图像，则将函的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像，则（ D ）

A．B．C．D．

8. .设函数，则在下列区间中，函数不存在零点的是（）

A．B．C．D．

9.已知直线过抛物线：的焦点，且与y轴垂直，则直线与抛物线所围成的图形的面积为（ C ）

A．B．C．D．

10.已知，满足，则的最小值是（ B ）

A．B．C．D．

11.设分别是双曲线（﹥0，﹥0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使得，其中为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为( D )

A.B.C.D.

12.对于函数，若对于任意的，为某一三角形的三边长，则称为“可构成三角形的函数”。已知函数是“可构成三角形的函数”，则实数的取值范围是（ A ）

A．B．C．D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题至第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题至第24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分.）

13.若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为。

14.已知数列是等差数列,为其前项和,若成等比数列，则8或64。

15.已知函数，若（），则=。

16.已知下列四个命题：

⑴若在上恒成立，则；

⑵锐角三角形中，，则；

⑶已知，直线与椭圆恒有公共点，则;

⑷定义在上的函数满足当时，则函数在上有最小值。

其中的真命题是（2）（4）。

三.解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17（本小题满分12分）

已知函数。

（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；

⑵记的内角的对应边分别为，且，，求的取值范围。

解：（1）--------------2分

-------------4分

函数的递减区间为：。----------6分

（2）

即-------8分

由

得------10分

又则

即。------12分

18（本小题满分12分）

营养学家指出，高中学生良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪。1kg食物含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费元；而1kg食物含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费元。为了满足营养专家指出的 日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物和食物多少kg？

解：设每天食用食物，食物，总成本为。则

目标函数为------------------4分

不等式组化简为

如图作出可行域（阴影部分）。---------------------------------------6分

把变形为，

由图可见，当直线经过可行域上的点时最小。-------8分

解方程组

得的坐标为--------------10分

所以

故每天食用约，食物约，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本21元。--------------12分

19（本小题满分12分）

数列的前几项和为，满足，其中

⑴若为常数，证明：数列为等比数列；

⑵若为变量，记数列的公比为，数列满足，求，试判定与的大小，并加以证明。

解：（1）当时，

当时，①

②

②-①得：

---------4分

又

故是等比数列---------------6分

（2）

猜想：﹥------------8分

下面用数学的归纳法证明:

1. 当，则﹥成立
2. 假设当时，﹥

当时，

﹥

即，结论也成立

由①②知：﹥----------12分

20（本小题满分12分）.

已知椭圆经过点，离心率。

1. 求椭圆的方程；

⑵不过原点的直线与椭圆交于两点，若的中点在抛物线上，求直线的斜率的取值范围.

解：(1)--------------------3分

(2)设直线，。-----4分

由

得-----6分

﹥0

即﹥0 （1）----8分

又

故

将代入得

-------10分

将（2）代入（1）得：

解得且。即。--12分

21（本小题满分12分）

己知函数.

⑴讨论函数的单调区间；

⑵设，当时，若对任意的都有，求实数的取值范围；

(3)求证：。

解：（1）

当时，递减区间为，递增区间为；

当时，递增区间为；

当时，递减区间为，递增区间为。------------4分

（2）当时，

由（1）知时

对任意的都有恒成立

即，恒成立

即，恒成立

即，恒成立

令，则，

即在上递增，故

所以。---------------8分

（3）当时，

由（1）知，单调递增，则时，

即

取，

则

故

。。。。。。 。。。。。。

上式叠加得：

即。--------------12分

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，在正中，点分别在边上，且,,与交于点。

⑴求证：四点共圆；

⑵若正的边长为2，求点所在圆的半径。

解：（1）由则

在正中，,

又

故

从而四点共圆。

（2）取中点,连接,则

又,

为正三角形

即

故是过四点的圆心，且半径为。

23.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程．

已知曲线：，将曲线上的点按坐标变换得到曲线；以直角坐标系原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标系方程是。

⑴写出曲线和直线的普通方程；

⑵求曲线上的点到直线距离的最大值及此时点的坐标。

解：（1）

（2）设曲线上的点，则

当时，取最大值

即距离的最大值为；此时点的坐标为。

24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数

⑴解不等式；

⑵设函数，若不等式恒成立，求实数的取值范围。

解：（1）

原不等式等价于

或或

解得或

即不等式的解集为。

（2），

由其函数图像知：。